6÷2(1+2)=?與整數的四則運算法則觀念說明

看到網路上對於6÷2(1+2)=?這個題目,
在臉書上超過百萬人答錯,也有網友詢問葛倫的看法,
葛倫老師就藉由這個題目來說明一下整數四則運算法則的觀念。

在乘法的表示法中,廣為大家所傳承接受的規則就是─
例子:五乘以二
5 × 2
5 ‧ 2
5 * 2

在四則運算中,廣為大家所傳承接受的法則就是─
● 一般而言,由左而右算。
● 先×÷ 後+-(先乘除後加減)。
● 有(括號)先算。
● 先算小括號,再算中括號,最後算大括號。

回到題目來:
6÷2(1+2)=?

根據四則運算法則:有(括號)先算
6÷2(1+2)
=6÷2(3)

6÷2(3)式中之2(3)是2乘以3的一種不常見的表示法(註一)
6÷2(1+2)
=6÷2(3)
=6÷2×3

再根據四則運算法則:由左而右算
6÷2(1+2)
=6÷2(3)
6÷2×3
3×3
=9

葛倫認為這是一個規則認知與遵循的問題。
首先在乘法的表示法中,你要認同2(3)=2×3,
才會得到6÷2×3這個式子,若你認為2(3)≠2×3,
那基本上這個就是一個瑕疵的式子,無須討論其結果。

其次你要遵循四則運算的規則,
葛倫解釋一下為什麼要遵循四則運算法則:

●為什麼要由左而右算,

舉個加法與減法混合的例子:
6-2+3=?

若你遵循四則運算的法則,那你會得到以下的計算過程,
6-2+3
4+3
=7

若你不是由左而右算,而是先加後減,那你會得到以下過程,
6-2+3
=6-5
=1

但根據減法的定義:減法是加法的逆運算,所以減去一個數等於加上此數的相反數。
根據減法的定義,計算過程如下:
6-2+3
6+(-2)+3
4+3
=7

6-2+3
=6+(-2)+3
=6+1
=7

此時無論你是由左而右計算,或是後兩項先算,
所得到的結果都會是7,這是因為加法有交換律的性質。

由以上例子,可以發現若加法與減法在同一式子中,
計算過程必須由左而右算,才會符合依減法的定義所計算出來的結果。

再舉個乘法與除法混合的例子:
6÷2×3=?

若你遵循四則運算的法則,那你會得到以下的計算過程,
6÷2×3
3×3
=9

若你不是由左而右算,而是先乘後除,那你會得到以下過程,
2×3
=6÷6
=1

但根據除法的定義:除法可視為乘法的逆運算,所以除以一個數等於乘上此數的倒數。
根據除法的定義,計算過程如下:
6÷2×3
6×(1/2)×3
3×3
=9

6÷2×3
=6×(1/2)×3
=6×(3/2)
=9

此時無論你是由左而右計算,或是後兩項先算,
所得到的結果都會是9,這是因為乘法有交換律的性質。

由以上例子,可以發現若乘法與除法在同一式子中,
計算過程必須由左而右算,才會符合依除法的定義所計算出來的結果。

●為什麼要先×÷ 後+-(先乘除後加減)。

舉個加法與乘法混合的例子:
6+2×3=?

若你遵循四則運算的法則,那你會得到以下的計算過程,
6+2×3
=6+6
=12

若你不是先乘除後加減,而是由左而右算,那你會得到以下過程,
6+2×3
8×3
=24

那到底是12對還是24才是正確答案?
葛倫認為數學是人們從選定的規則中推導建立起嚴謹的定理,
而且數學會被使用在世界上不同的領域,包括科學、工程、醫學和經濟學等,
若計算結果是模稜兩可或自由心證,將對嚴肅的領域造成無所適從的應用困難,
所以為求大家對結果的完全認同,
葛倫老師認為計算過程必須遵循四則運算法則,
所以6+2×3=12才是正確答案。

至於為什麼括號要先算以及先算小括號,再算中括號,最後算大括號的計算順序,
其道理也是為了確保大家的計算結果一致。

註一:2(3)這個乘法表示法請參考維基百科的英文內容↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication#Notation_and_terminology
“In algebra, multiplication involving variables is often written as a juxtaposition (e.g. xy for x times y or 5x for five times x). This notation can also be used for quantities that are surrounded by parentheses (e.g. 5(2) or (5)(2) for five times two).”

你也可以在維基百科的中文歷史內容查到2(3)這個乘法表示法,不過現在已被刪除↓
https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B9%98%E6%B3%95&oldid=16194612

不過你還是可以在韓文的維基百科中,查到2(3)這個乘法表示法↓
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EC%85%88

27 thoughts on “6÷2(1+2)=?與整數的四則運算法則觀念說明

  1. 回到一開始說1和9都錯的看法,此題無法算出結果啊!因為在數學規範裡,無論明示暗示,都看不出有乘法的存在,這也是為什麼教育部說題目本身錯誤,葛倫老師也說這是一個有瑕疵的算式,無須討論其結果……
    因為先不看結果,我們先來討論題目本身:
    第一,這個題目有明白表示出乘法符號嗎?答案是沒有。
    第二,這個題目有隱藏式乘法(亦即乘號省略),答案也是沒有。
    首先我們來討論數學位階,先乘除後加減,大家都知道,為什麼?因為乘除位階高於加減,可是大家沒討論到的是””隱藏式乘法,需優先計算,兩者不可分離,其位階高於四則運算法則,不受限於四則運算中從左至右運算的條例””這個規定。
    舉例解釋:
    2*y=2y,這裡用了隱藏式乘法,無論代進任何算式之中,6÷2+2y-4*3或6÷2y中,其2與y中間優先互乘的關係,都不會消失,不受限於四則運算從左至右的法則,不是因為它們用了代數,而是因為它們用了隱藏式乘法,如果你不尊重數學中,隱藏式乘法位階高於四則運算,如同你不尊重乘除法位階高於加減法,那所有數學公式,數學理論都將崩盤。這就是為什麼那麼多人算成1的原因,因為他們基於隱藏式乘法規範,優先運算2(1+2)。
    可是,問題來了!這個隱藏式乘法,在此算式中,不能成立,因為隱藏式乘法雖然位階較高,能優先運算,但有一個很重要的限制,就是在代表數符號,未知數符號a.b.c…出現前,方可使用隱藏式乘法(乘法符號省略),而此算式中有a.b.c…嗎?沒有,對,就是沒有,所以也沒有隱藏式乘法存在。
    回到題目檢討,它是一個在數學規範裡,明示暗示都沒有乘法存在的算式,根本算不出最後結果。
    但是沒有人提出這樣的說法,去質疑臉書1和9的兩個答案選項,到底是怎麼來的?
    結論,數學規範裡,看不出此算式有乘法關係存在,題目本身錯誤。
    以上如有錯誤,請批評指正,小弟會虛心領教。

  2. 葛倫老師,我非常欣賞你在本篇所提到的一段話,就是:”你必須認同2(3)=2*3,否則基本上這是一個有瑕疵的式子,無須討論其結果。”這段話,沒錯,這就是一個有瑕疵的式子,只是我建議能用在一開始告訴大家,你必須認同6÷2(1+2)=6÷2*(1+2),否則這就是一個有瑕疵的式子,無須討論其結果,因為長久以來,我看到很多人引用你的說明來與人爭論,卻顯少提出這段話。這純粹只是我個人看法,你看看就好。

  3. 此題上傳臉書之由來,出自國外兩位小學生,以不同廠牌輸入該算式,得到1和9兩種不同答案,問其父母,亦無法解釋,故上傳臉書,以求解答,。
    但數學
    1.數學規範四則運算中,沒有一個符號能被省略、隱藏。
    2.隱藏符號需優先被計算,但代表數(簡稱代數)符號a.b.c.x.y.z……出現,方可使用隱藏符號。
    故檢視其算式,缺少乘號,亦無代表數符號,乃不可計算結果之瑕疵算式。1和9皆為假設性計算,亦即假設為有乘號,或為代數,而計算出其結果。
    進而引發對各廠牌計算機,進行了解後發現,四種結果如下:
    1.一部份計算機會自行修正算式,也就是將6÷2(1+2)修正為6÷2*(1+2)進行計算而得到結果9。
    2.一部份計算機其程式,認為隱藏符號需優先計算,而得到結果1。
    3.一部份計算機,會顯示輸入錯誤,無法計算。
    4.一部份計算機,會顯示輸入錯誤後,再顯示其建議輸入之算式。
    所以此題非考小學生之試題,乃是兩位小孩輸入錯誤之算式,而得到不同結果,進而對不同廠牌之計算機,進行測試及說明而來。
    以上為最終得到之訊息。

  4. 1和9都錯,根本就是盲算,首先若是出現在小學生的數學運算中,2*(1+2),乘號不能省略,否則即為代數,題目就錯了!若將2(3)視為2*3,等同先聯結括弧內的3和2有優先運算關係,而若是自以為是代數而運算,則有違小學數學四則運算的前題,整個狀況形同老闆叫你去美國出差,卻給你飛往日本的機票,你的正確反應,不是要思考去美國還是去日本,而是告訴老闆你給錯機票了!算1和9,就如同只思考去美國和日本一樣,正確的做法,應該是點出題目的缺失才對,以上是個人淺見,如有冒犯,請多包涵。

  5. 如果6÷2(1+2)=9那倒可以去挑挑愛因思坦還有牛頓他們數學式子裏的毛病,說不定還會得到什麼獎ㄡ

  6. @有關代數問題
    在代數的學習過程中,
    首先會先學代數的運算規則,
    接著學代數符號規則─乘法的簡記,
    簡記的用意除了減少乘號「×」和英文字母「x」的混淆外,
    還可以更簡潔的方式來表達多項式,增加多項式的易讀性。

    若依您發文中,”將6÷2看成一組再和x組合”,
    則會和代數符號規則產生衝突,
    因為在代數中→2x=2‧x=2×x
    所以在代數式的運算過程中,
    會將代數符號前面的數字視為係數,整體視為一個項,
    所以 6÷2x=? 這個式子屬於代數式,式子中的2為x的係數,
    因此 6÷2x=6÷(2x)=3/x

    依您發文中,”將(1+2)看作X代入”,
    這樣的想法,其實就是本題的癥結所在,
    因為代數有”符號規則─乘法的簡記”,
    但是整數的運算中,並沒有相同的簡記法,
    所以才會產生如此分歧的計算過程與結果。

  7. 請問代數前方的已知數字若是乘除組合~~可否當成是一組來看待??
    就好比說將(1+2)看作X代入
    就會變成6/2X
    那這樣前方的6/2可以看成一組然後和X組合嗎??
    若是能這樣就應該不會有用代數會有另一種解法的問題了吧??
    懇請賜教 感恩

  8. 首先必需先搞清楚一點
    2(X+Y),我們會說成『有兩個x+y還是2乘以x+y』?
    2(1+2)這樣的寫法,他的意思應該是=>有兩個1+2
    他絕對不是2×3
    什麼叫:有兩個1+2?
    意即(1+2)與(1+2)
    若是你想把這個說成2×3
    則他必需這樣寫=>2x(1+2)

    四則運算的運算符號不可省略
    省略乘號必為代數
    進行四則運算必先拆括號
    不拆括號運什麼算?
    6除2(1+2)在進行拆括號這個動作時,
    應該是變成=> 6除(2+4)
    最後完整拆除括號為=>6除以6=1

    在學生還不明白代數之前,把代數直接寫成數字讓學生學著計算並不奇怪
    既然是用代數的表記方式,則必需以代數的方式計算
    這題的答案不可能是9也不應該是9

  9. 先生你說 6÷2(1+2)不是一個式子?
    那麼我們假設它是一個被運算到一半的式子呢?

    把其種某些數字改成未知數然後在假設它原本的式子是這樣
    ÷就用/代替好了
    If 6/(X+2X)=1  X=2
    先把=1 以及X=2丟掉不去理會
    並且把X提出來會變成
    6/X(1+2) 在數學上這個式子是可行的,也沒有老師強迫說一定要再加一個中括號
    之後再把X帶入便成
    6/2(1+2)
    這個式子就是試題
    那麼照老師說的由左而右去計算會變成
    6/2(1+3)
    =6/2*3
    =3*3
    =9

    式子沒錯
    可是卻因為由左而右運算讓證明方法錯誤
    請問老師你能解釋這個說法嗎?

  10. 2(2+1)=(2×2+2×1)
    此題避免出錯之唯一正確的「第一步驟」!
    很多如此括號程式!老師必須教會學生此方法:
    ax/ ax/
    a(b+c)=(b + C }

    數值和ax( )相同!但是含意不同[失去先括號之保護]!出錯誤之根源!

  11. 葛倫老師:
    王富祥博士和您意見相同。但是,它完全錯了!
    1/ 先做括號不依循則法規之第一倏先乘除之秩序來運萛。
    2/ 「先括號」未完成運萛就進行其它運萛。
    3 /對括號程式認識有嚴重障礙和糢糊不清之處。把一個括號運萛程式視為別的程 式。
    {{ 在此式題中只有一除號和一個括號!運萛法則就是先括號>>>乘除號>>>加減號。此處只有括號>>>除號兩號需要運萛。}}
    4/ 假設2(3)=2×3是最嚴重之錯誤!2(3)=(2×3)才正確! 再次犯了對括號認識不足,概念不清之錯誤!

    此式最正確之運萛應該是:
    第一步驟
    還原括號程式: 2(2+1)=(2×1=2×2)=(6)=6

    第二步驟
    6除6=1 此題答案為1。

    [評語]:
    運萛步驟準確。括號概念清楚!無瑕疵可指出!

    此方程式非常經典!是非常好之考題。
    它真正要考的只是一點:如何運萛「先括號」的法則。要解「括號程式」也要按運萛四則之順序來進行。答案對,步驟錯,亦要扣分!
    “先括號”真正完成,不會有此种程式出現a(b)。括號完成就無( )存在!此乃先做”加”號後才做”乘”號之結果。
    如果懂得2(3)=(2×3)=6。答案乃正確。只是步驟錯要扣分而已。
    若把2(3)化為2×3代入再用先左後右法則運萛。則大錯特錯!因為用2×3代入和3×2代入結果就完全不同!一個9一個4!千奇百怪。王富祥博士之運萛從第一步錯到最後!評分當然是o分!錯了不認錯,堅持錯誤評分是負分!

    若能公開認錯,進一步去改進電腦程序,避免造成更大傷害!能 將功補過,就真正不愧是好老師,必可加分!期盼這一天早日能到來!

    香港普通長者: 佘金獅 敬上 2013-9-22

  12. [A] 2(2+1)=2x(1+2)=====答案為”正確”9者之運萛第一步驟。
    [B] 2(1+2)=(2×1+2×2)====答案為”錯答”1者之第一步運萛步驟。
    [A]和[B]有什麼不同?此不同點正是王富祥和葛倫老師您們忽略之處!先要不要括號保護?前後如果有運萛程式要做。會否影響答案?
    H+,-,x,除a(b+c) 或者a(b+c)+-x除H 按上面步驟運萛有否影響?
    只有一個除號有影響!因為四個法則之運萛秩序規則,只好除號之「先括號」特權消失才會有影響!======就因為全部運萛程式只此「一小丁點」差異而變成問題嚴重!
    我老了,蟻民能力有限,請求年輕人有為的葛倫老師傅能為台灣做出一點貢獻獻。改變一下電腦程序設計。保証了不再犯錯!
    2(3)=2×3和=(2×3),只有因前面是除號才不同詰果!其它加以,.乘號都無影響!只有除號有影響力!法則1,2受法規3管束真正起作用只此一點。答9者正因此點作用而得出不同答案。檢視方法就是用法則第四條文:即然2(3)=2×3=3×2兩個不同順序排列。只有除號在前面之運萛才會因為「左至右」法則而因失去「先括號」而影響結果!此喺題括號為6,它來自2+4
    但因有先括號之保障。所以可變為2×3。6=(2×3)=(2+4)=(3×2)沒有括號保護,只在前面是除號才會影響結果!只這一丁點不同,電腦設計程式分辯不出來!
    它就是決定「對,錯」之根本區別點。電腦之設計也是[A]之運萛程式。

    我堅決堅持自己的立場:只有[B]之運萛程式和方法才最完整!才不會誤導,誤判和真正錯答!
    我堅持不是為個人”面子”,也不是為了能獲得「認同」!
    兒女答錯,聽不進我之「教導」無關重要,無傷大雅。只為他們「迷信專家,迷信權威」而悲哀。
    七歲小孫女用電腦來「引導爺爺知自己錯了」===它才令我驚覺問題己非常非常嚴重!依賴電腦的今日世界,會否因為「電腦錯」而被電腦毀滅了這個世界????

  13. 個人認為無關省略或不省略乘號
    重點是2(1+2)是如何被定義的
    在此題6÷2(1+2),大家會一眼就視2(1+2)為”一個數”
    無非是因為在國二學習到乘法公式
    像是上面所提及的6÷2x=3/x是因為依照多項式定義所作的運算
    才會得到這般結論
    我想大家最大的疑問可能在於
    為何不能setting x=(1+2)而得到6÷2*(1+2)=1的結果呢?
    所謂的四則運算的運算規則
    是從抽象代數的二元運算衍生出來的
    規則設立的目的是為了不讓計算產生矛盾
    這樣子看起來,究竟是定義有瑕疵,
    還是題目本身就有瑕疵?

  14. 反對答案為9.
    原因是一條標準的運算式子由: 數字(D), 運算符號(O)混合組成.
    而運算符號左邊跟右邊必須有數字連接. 如 D O D.
    括號前面的數字應理解為括號的系數, 而不是另一個數字, 除非有運算符號. 如 2*(1+2)
    因此6/2(1+2)
    =6/2(3) //系數要跟括號一起運算.
    =6/6
    =1
    謝謝

  15. 從 PE[MD][AS] 來看,問題是在一開始的是否成群。
    P : Evaluate all expressions within parentheses and other grouping symbols.
    若 2(1+2) 視為一群則先計算出 6 ,若 2 不被包在 (1+2) 這一群內則算出 1+2 = 3 後繼續往下到 [MD] 的規則。
    2(3) = 2×3 是沒問題的,但是在上述的算式中卻被當成像是 2n 的一群,在網路上的討論就有看到一些人的說法認為「既然在列算式的時候不寫 × 而直接將數字連在括號前,那就表示這步計算的優先性(成群)高於『正常的』乘除。所以要先將這群算出。」

    因為對符號解讀不同所以計算產生差異,就像有些非英語國家的 a ÷ b 寫成 a : b (不是比例) ,連這也加進來混戰就更有趣了。

    6 : 2 ( 1 + 2 ) = ?
    這次答 1 的人會更多,不過畢竟 a ÷ b 寫成 a : b 很少見(在台灣是弱勢),所以應該很快就會被忽視/遺忘。

  16. @奇怪的討論
    本文所探討的是”整數”的四則運算法則觀念說明。

    『項』是屬於『代數』的範疇,以下先定義『代數』與『項』:
    『代數』的基本思想─研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼,以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。
    『項』的定義─項指得是單一的標量(一般是實數或複數)或單一變數或由多個變數以及標量(一般是實數或複數)經乘法及加法構法而成。

    根據以上定義,您所說的將 6÷2×3 視為 3 個項的概念,會與定義有所出入,
    在多項式的運算中,除法會視為乘法的逆運算,減法會視為加法的逆運算,
    所以在『代數』與『項』的定義中,才會只探討加法與乘法的運算,
    您以破壞”項”的觀點,若遇到 6×3÷2 這個例子就會出現例外,
    因為以 6x(3÷2) 的式子來運算,破壞了 x3 這個項,還是可得到相同的結果,
    所以葛倫老師認為以”項”的觀點來解釋並不嚴謹,建議使用定義中的逆運算來解釋。

  17. 這一題 輾轉從網路上看到
    也自然被告知了 老師在網路上的精闢論點
    剛好也跟孩子討論過為什麼要由左至右的問題
    現在的小六 早接觸代數 對於化簡 所需要的 項 及移項的觀念
    更該早早 學會
    所以我試著用項的觀念來跟孩子解釋 這一題的討論 在我個人來說是毫無意義的
    在那之前 我可能要先回應一下對於 2(1+2) 表示無意義 這件事
    國中或國小 太多題目 無意義 或未定義
    國小 出個分母是0的就叫做無解 但真的無解 ?
    爭辯這個 贏了也輸了 現在的小六生 幾乎都看得懂 2(1+2) = 6這件事
    回歸正軌
    如果用項的觀念來解釋 不知是否會更清晰 想請問老師的高見
    也就是說
    6÷2(1+2) 化為 6÷2×3 之後的計算
    第一項是 6 第二項是÷2 第三項是x3
    6可以先乘3 或先除2
    就是不能 2先乘3 因為這樣把第二項給破壞掉了
    又 如果這樣先乘是可行的
    那 4÷2÷2 可否計算為 4÷(2÷2) = 4 呢 ?
    原因不在於是否由左而右 原因在於破壞了一個項
    而項是不可被破壞的 可以合併 可以對調 但不能被破壞
    以上想請教老師高見

  18. @tommy
    就原來的式子 6÷2(1+2)=? 葛倫老師的主張前提如下:
    葛倫認為這是一個規則認知與遵循的問題。
    首先在乘法的表示法中,你要認同2(3)=2×3,
    才會得到6÷2×3這個式子,若你認為2(3)≠2×3,
    那基本上這個就是一個瑕疵的式子,無須討論其結果。

    而 6÷(1+2)=? 這個式子根據整數四則運算的規則,有括號先算,
    可得 6÷(1+2)=6÷3=2
    而 6÷2x=? 這個式子屬於代數式,式子中的2為x的係數,
    所以 6÷2x=6÷(2x)=3/x

  19. 葛倫老師好!(修改版)
    就這條問題我有好多問題
    如:6÷2(1+2)的話 是否當6÷2x(1+2)=6÷2×3=9呢
    以下問題何解呢
    6÷(1+2)呢 是否6÷1x(1+2)=6÷1×3=18呢 還是6÷3=2呢
    6÷2x呢 是否6÷2*x=3*x=3x呢 還是6/2x=3/x呢
    我不明白 求老師解答
    tommy上

  20. 親愛的訪客您好,

    在小學確實沒有2(1+2)這種算式表示法,
    即使到了國中此算式也應該修正為2×(1+2),
    葛倫老師的文章中,若您有仔細閱讀,
    文中所強調都是”整數”的四則運算法則觀念說明,
    而且葛倫的論點都是源於四則運算法則與維基百科的資料,
    若您不認同2(3)=2×3,那基本上這個就是一個瑕疵的式子,
    無須討論其結果!

    至於代數及根號部分,
    您舉得兩個例子確實值得討論,
    葛倫認為在除法的橫式寫法,特別是以”÷”表示的式子,
    都需要注意列式是否明確,
    如同6÷2x,若要表示2x是除式部分,即使是非負式,
    也應以括號(2x)表示,所以式子應該是6÷(2x)。
    帶有根號的式子,也應秉持列式明確的原則,
    所以6÷2√3,若是2√3表示除數部分,
    式子應為6÷(2√3)。

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    而且內容若有謬誤,有錯當改絕不馬虎,
    所以也請您尊重葛倫老師的用心與專業,謝謝!

  21. 請媒體不要誤人子弟.
    6÷2(1+2)=??
    因為小學沒未知數+-x÷要很清楚, 根本沒有2(1+2)這寫法.

    而2(1+2)這寫法是工程數學把(1+2)當未知數的寫法.

    基礎數學和工程數學的差異,

    基礎數學不用代未知數,
    所以+-x÷要很清楚.2″x” (1+2)這寫法.

    但工程數學代入未知數,
    會簡化2x要先算.才會有2(1+2)這寫法.

    如‎6÷2x=6÷2*x=3x?? 6÷2x=6/(2x)=3/x ??
    答案是3/x

    如‎6÷2√3=6÷2*√3=3√3?? 6÷2√3=6/(2√3)=3/√3??
    答案是3/√3

    所以6÷2(1+2)=1

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