【觀念】第五冊_§3-2三角形的外心、內心、重心

2011 年 09 月 11 日2017 年 02 月 08 日 Galen 免費教學

國中數學第五冊
§第三章_幾何證明與三角形的三心
※3-2 三角形的外心、內心與重心

解說影片之播放目錄：
【觀念】(1)三角形的外心
 【觀念】(2)三角形的外接圓與外心角度
 【觀念】(3)以外心性質證明30-60-90三角形的邊長比
 【觀念】(4)三角形的內心
 【觀念】(5)三角形的內心與頂角角度關係
 【觀念】(6)三角形的內切圓半徑與三角形面積
 【觀念】(7)直角三角形內切圓半徑與三邊長關係
 【觀念】(8)三角形的重心
 【觀念】(9)三角形的重心均分三角形面積
 【觀念】(10)正三角形的外心、內心、重心為同一點

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標籤：免費教學

Galen

54 thoughts on “【觀念】第五冊_§3-2三角形的外心、內心、重心”

葛倫說：

2011 年 12 月 26 日 at 21:44:01

@梁藤
“三角形的心”在國中課本中指的就是外心、內心與重心，
所有觀念的教學影片內容如播放清單所示：
【觀念】(1)三角形的外心
【觀念】(2)三角形的外接圓與外心角度
【觀念】(3)以外心性質證明30-60-90三角形的邊長比
【觀念】(4)三角形的內心
【觀念】(5)三角形的內心與頂角角度關係
【觀念】(6)三角形的內切圓半徑與三角形面積
【觀念】(7)直角三角形內切圓半徑與三邊長關係
【觀念】(8)三角形的重心
【觀念】(9)三角形的重心均分三角形面積
【觀念】(10)正三角形的外心、內心、重心為同一點

影片就在本頁的最上方，如果你不是來自中國，
應該可以看到影片內容，所以先把觀念弄懂吧！
梁藤說：

2011 年 12 月 26 日 at 21:08:25

老師您好!!我的國中三年級上學期課中本有一課”三角形的心”，請問有教學影片嗎?
葛倫說：

2011 年 12 月 19 日 at 21:22:45

@振任
已知直角△ABC的內切圓半徑為3，而且它的斜邊長是15，則此三角形的周長為多少？
(A)18　(B)33　(C)36　(D)48

葛倫老師還在等待你的答案…
呂振任 說：

2011 年 12 月 18 日 at 07:08:20

http://tw.myblog.yahoo.com/gratefulgrateful-gratefulgrateful

早安
呂振任 說：

2011 年 12 月 15 日 at 18:24:12

http://tw.myblog.yahoo.com/gratefulgrateful-gratefulgrateful歡迎
呂振任 說：

2011 年 12 月 15 日 at 17:26:51

耕莘護校
我未來的學校
葛倫說：

2011 年 12 月 13 日 at 16:48:58

Q:國三的我不補習可嗎..
A:看你的時間規畫以及補習對你是否有成效來決定，你可以先去附近的補習班試聽，
若去補習班還是聽不懂或是沒有解決你的疑惑，那就不需要補習；
但若上完補習班的課，可以減輕你在數學這科的準備，
那補習也不失為一個好的解決辦法。

Q:看到題目—手足無措
看到答案—一句帶過
我自己再算—-還是不會
老師…..
我該怎麼辦–
A:葛倫老師錦囊妙方
看到題目—手足無措 → 讀懂題意
看到答案—一句帶過 → 想想步驟
我自己再算—-還是不會 → 詢問老師

Q:葛倫老師
你有出書嗎?
A:葛倫老師目前正著手進行數位教材的編寫，
未來除了有電子書、App，也會有紙本書。

Q:老師,三角形的外心內心從作圖中就可以找出來?
A:三角形的外心是外接圓的圓心，可藉由作三邊中垂線之交點求得，
由此交點連接任一三角形的頂點，此線段即為外接圓的半徑。
三角形的內心是內切圓的圓心，可藉由作三內角之角平分線的交點求得，
過此交點作任一三角形邊長的垂線，連接圓心與垂足，此線段即為內切圓的半徑。

三角形的外心和內心都可由尺規作圖或利用GeoGebra電腦繪圖求得。
葛倫說：

2011 年 12 月 13 日 at 16:31:02

@振任
讓我們一題一題來解決吧！

已知直角△ABC的內切圓半徑為3，而且它的斜邊長是15，則此三角形的周長為多少？
(A)18　(B)33　(C)36　(D)48

這題會用到的觀念列出如下↓
【觀念】(6)圓之切線與切線段長性質
http://www.liveism.com/blog/?p=654

【觀念】(7)直角三角形內切圓半徑與三邊長關係
http://www.liveism.com/blog/?p=669

葛倫老師期待你的解題過程！
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 21:02:35

葛倫老師
你有出書嗎?
老師,三角形的外心內心從作圖中就可以找出來?
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 20:42:35

看到題目—手足無措
看到答案—一句帶過
我自己再算—-還是不會
老師…..
我該怎麼辦–
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 20:22:10

國三的我不補習可嗎..
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 20:19:20

老師麻煩你指點
已知直角△ABC的內切圓半徑為3，而且它的斜邊長是15，則此三角形的周長為多少？
(A)18　(B)33　(C)36　(D)48

已知△ABC中，∠B＝48°，則當∠C等於下列哪一個度數時，會使得△ABC的外心落在三角形的外部？
(A)32°　(B)42°　(C)52°　(D)62°
11. （）已知△ABC中，∠ACB＝90°，、、的長度分別為13、12、5公分，若I為△ABC的內心，則△AIB的面積為多少平方公分？
(A)12　(B)13　(C)15　(D)16
葛倫說：

2011 年 12 月 12 日 at 18:47:59

@振任
Q:請問一下.外心畫外接圓
有你教以外的其他性質嗎
重心搞不懂
想更清楚
尤其是在
【觀念】(8)三角形的重心
【觀念】(9)三角形的重心均分三角形面積
A:外心是三角形的三邊中垂線之交點，且是三角形外接圓的圓心。
從上面那一句話中，可以發現和外心有關聯的性質有：
三角形、中垂線、圓
所以你可以查看相關的性質，看自己是否已了解其觀念。

重心是三角形的三邊中線之交點。
因為中線是三角形的頂點到對邊中點的連線，
所以會使得所畫分的三角形面積相等。(等底同高)

外心和重心的觀念就如以上所述，
因為它們和三角形、中垂線、圓、中線等性質又有關聯，
所以題型可以引用的觀念就較多，這時只要將它抽絲剝繭，
將各個觀念一一擊破搞懂，相信你可以抓住這兩個”心”。

Q:老師,我這次考72分耶接下來就要面對三心了+_二次函數~…~老師救我
A:搞懂觀念、多做題型、將不會的觀念題目弄懂，相信你一定可以超越自己！

葛倫老師的三心和二次函數救命配方如下：
三心↓
http://www.liveism.com/blog/?p=669

二次函數↓
http://www.liveism.com/blog/?tag=%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B8
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 08:48:21

老師,我這次考72分耶接下來就要面對三心了+_二次函數~…~老師救我
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 08:42:16

35.補
尤其是在
【觀念】(8)三角形的重心
【觀念】(9)三角形的重心均分三角形面積
看到題目—手足無措
看到答案—一句帶過
我自己再算—-還是不會
老師…..
我該怎麼辦–

老師謝謝
麻煩囉
呂振任 說：

2011 年 12 月 12 日 at 08:34:05

請問一下.外心畫外接圓
有你教以外的其他性質嗎
重心稿不懂
想更清楚
廖英宏 說：

2011 年 12 月 07 日 at 20:28:55

有寫或沒寫他們都是方法都是來自於想
葛倫說：

2011 年 12 月 06 日 at 21:31:09

Q:其實已經了解那個單元的東西,有寫跟沒寫其實都一樣,對不對老師?
A:葛倫老師認為可以”放心”與否這準則來取捨，
若你確定不寫下來，心裡不會有所牽掛，那就不用寫下，
若覺得不動筆記錄一下，心裡總是怪怪的，那就別猶豫了，就寫吧！
廖英宏 說：

2011 年 12 月 06 日 at 18:32:18

30 31 就好了謝謝老師^^
廖英宏 說：

2011 年 12 月 06 日 at 18:31:42

其實已經了解那個單元的東西,有寫跟沒寫其實都一樣,對不對老師?
廖英宏 說：

2011 年 12 月 04 日 at 20:21:11

Q:老師,那你以前學數學的時候會不會把所學的方法寫下來,還是用思考下去想?
A:葛倫老師學數學的方式，當新接觸一項新的觀念與題型時，一定會想過一遍再寫下來，寫下筆記除了加深印象也可方便日後回憶複習，若已經熟練後，就會用眼睛看，並在腦海中運算一遍，會了就不會再動手寫了。

有些認為自己不用寫的應該也不用寫吧
(我的方法跟您一樣耶^^)
廖英宏 說：

2011 年 12 月 04 日 at 19:59:47

Q:老師,那你以前學數學的時候會不會把所學的方法寫下來,還是用思考下去想?
A:葛倫老師學數學的方式，當新接觸一項新的觀念與題型時，一定會想過一遍再寫下來，寫下筆記除了加深印象也可方便日後回憶複習，若已經熟練後，就會用眼睛看，並在腦海中運算一遍，會了就不會再動手寫了。

那老師,少部分的單元應該不用寫下來吧
葛倫說：

2011 年 12 月 02 日 at 22:30:58

@英宏
Q:老師,是不是不管在做任何事都是需要想這個字?
A:當你提這個問題時，你已經”想”過了，
葛倫老師認為在運算上人與電腦最大的差別就在於”思考”與”想像力”，
當你覺著不需要”想”的時候，應該是你之前思考過了、常做了，而形成一種習慣，
但終究你還是有嚐試去想過、做過，所以任何事都是需要”想”。

Q:老師,思考是不是無形的?
A:思考是否具有實體，端看你指的是過程還是結果，
如果是過程，那屬於”內力”，它是無形的，如果從醫學的角度，思考就是刺激腦細胞的連結關係。
如果是結果，就可以無形也可具體，就像葛倫老師的影音教學，就是老師想法的部份實現。

Q:老師,那你以前學數學的時候會不會把所學的方法寫下來,還是用思考下去想?
A:葛倫老師學數學的方式，當新接觸一項新的觀念與題型時，一定會想過一遍再寫下來，寫下筆記除了加深印象也可方便日後回憶複習，若已經熟練後，就會用眼睛看，並在腦海中運算一遍，會了就不會再動手寫了。
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 21:12:42

只要回答24 25 26就可以了
謝謝老師ㄛ^^
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 21:11:34

老師,那你以前學數學的時候會不會把所學的方法寫下來,還是用思考下去想?
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 21:09:31

老師,思考是不是無形的?
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 20:50:41

老師,是不是不管在做任何事都是需要想這個字?
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 20:50:19

老師,是不是不管在做任何事都是需要想這個字?
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 20:38:59

PS:很高興你能獲得好成績，給你一個”讚”！
葛倫老師覺得幾何證明是國中幾何中最精彩的部份，
因為難度頗高，而且要能把自己的思路用文字精簡地表達出來更是不容易，
不過當你可以言之有理、解得俐落，你將會體會葛倫老師所說得”精彩”。

也就是說很好玩的意思
廖英宏 說：

2011 年 12 月 01 日 at 20:37:58

愛因斯坦說:思考思考在思考.
葛倫說：

2011 年 11 月 30 日 at 21:24:04

@英宏
Q:三角函數是在算什麼的?
A:三角函數一般用於計算三角形（通常為直角三角形）中未知長度的邊和未知的角度，在導航系統，工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。

Q:老師,學數學是不是用心學和用心去思考 ?
A:不僅是數學，當你想學好任何科目或事物，都是需要花費一番苦心與精神，
而學習的過程正如孔子所說得：學而不思則惘，思而不學則殆。

PS:很高興你能獲得好成績，給你一個”讚”！
葛倫老師覺得幾何證明是國中幾何中最精彩的部份，
因為難度頗高，而且要能把自己的思路用文字精簡地表達出來更是不容易，
不過當你可以言之有理、解得俐落，你將會體會葛倫老師所說得”精彩”。
廖英宏 說：

2011 年 11 月 30 日 at 18:35:29

老師,學數學是不是用心學和用心去思考 ?
我這次考100分耶接下來就要面對幾何証明了~…~
廖英宏 說：

2011 年 11 月 29 日 at 18:20:17

三角函數是在算什麼的?
葛倫說：

2011 年 11 月 28 日 at 18:05:36

@英宏
Q:老師,重心外心內心的一些性質是不是從作圖中可以去證明出來的
A:你想用作圖來證明哪些外心、內心、重心性質呢?

Q:老師,我發現外心除了直角三角形外,其他的三角形是不是沒辦法求半徑?
A:若學了三角函數，你將可求出任何三角形的外接圓半徑，更方便的就是利用軟體來模擬求解。

Q:老師,這個單元只要記外心內心重心的作圖(也就是他們的原理)就好了嗎?
A:最重要的觀念，葛倫老師都列在播放清單了，不過學習數學別設限，多涉獵一些相關資料，會讓你腦袋裡的數學資料庫更充實，但別忘了思考消化！
廖英宏 說：

2011 年 11 月 26 日 at 10:25:56

老師,這個單元只要記外心內心重心的作圖(也就是他們的原理)就好了嗎?
廖英宏 說：

2011 年 11 月 26 日 at 07:49:02

老師,我發現外心除了直角三角形外,其他的三角形是不是沒辦法求半徑?
廖英宏 說：

2011 年 11 月 25 日 at 21:11:35

老師,重心外心內心的一些性質是不是從作圖中可以去證明出來的
廖英宏 說：

2011 年 11 月 25 日 at 19:37:48

是的
所以學數學盡量不要死背
葛倫說：

2011 年 11 月 24 日 at 22:02:40

@英宏
公式是基本觀念的歸納，
所以葛倫老師才會一直強調要會推導不要死記，
如果你從國三上的課程就都有將葛倫老師所列出的觀念影音教學看過的話，
那你應該會發現，葛倫老師所列出的每一個公式，都一定會證明或說明其由來。

因此每一個公式你只要扎實的多推導幾次，相信要忘記它也不容易，
當你知道每一個公式的來龍去脈，遇到多個觀念組合而成的題目，
自然可以見招拆招，抽絲剝繭地將複雜或難題迎刃而解！
廖英宏 說：

2011 年 11 月 24 日 at 20:05:17

老師,每個公式都有他的證明嗎?
廖英宏 說：

2011 年 11 月 24 日 at 19:40:04

有些是不是應用題要用公式?
葛倫說：

2011 年 11 月 21 日 at 18:43:50

@英宏
在解說影片之播放目錄的內容中：
【觀念】(2)三角形的外接圓與外心角度
【觀念】(3)以外心性質證明30-60-90三角形的邊長比
【觀念】(5)三角形的內心與頂角角度關係
【觀念】(6)三角形的內切圓半徑與三角形面積
【觀念】(7)直角三角形內切圓半徑與三邊長關係
【觀念】(8)三角形的重心
【觀念】(9)三角形的重心均分三角形面積
【觀念】(10)正三角形的外心、內心、重心為同一點
這8個觀念內容，都可以說有公式在裡面，
不過葛倫老師再次強調，要熟練推導這些關係式，不要硬背。
廖英宏 說：

2011 年 11 月 21 日 at 18:03:47

這單元應該不需要什麼公式吧
廖英宏 說：

2011 年 11 月 18 日 at 22:44:57

不過,也是要[想].
葛倫說：

2011 年 11 月 18 日 at 22:14:39

@英宏
這也是葛倫老師一直強調基本觀念的原因。
廖英宏 說：

2011 年 11 月 18 日 at 22:08:42

我個人算數學是比較喜歡用它的原理,這樣比較能夠活用.
葛倫說：

2011 年 11 月 18 日 at 21:50:02

@英宏
三角形的外心、內心與重心這單元的重點，
葛倫老師都將它整理在播放清單中，
相信你只要掌握影片中老師所要傳授的內容，
那你就已經具備三角形三心的基本觀念。

三角形的三心可說是國中階段幾何的總結，
加上三心又和外接圓、內切圓、三角形面積、比例線段都有關連，
所以題目的變化性很高，
因為都會應用到前面所學的相似三角形、圓、證明等觀念，
因此題目練習不可少，多做些題型對你在觀念的掌握，會有所幫助！
廖英宏 說：

2011 年 11 月 18 日 at 19:13:41

老師,這個單元就只要搞懂外心內心重心就好了嗎?
葛倫說：

2011 年 11 月 17 日 at 21:33:29

@英宏
三角形的外心是外接圓的圓心，可藉由作三邊中垂線之交點求得，
由此交點連接任一三角形的頂點，此線段即為外接圓的半徑。
三角形的內心是內切圓的圓心，可藉由作三內角之角平分線的交點求得，
過此交點作任一三角形邊長的垂線，連接圓心與垂足，此線段即為內切圓的半徑。

三角形的外接圓或內切圓半徑都可由尺規作圖或利用GeoGebra電腦繪圖求得。
廖英宏 說：

2011 年 11 月 17 日 at 19:27:21

老師,三角形的外心內心他們圓的半徑是不是從作圖中就可以找出來?

Galen

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