6÷2(1+2)=?與整數的四則運算法則觀念說明

看到網路上對於6÷2(1+2)=?這個題目,
在臉書上超過百萬人答錯,也有網友詢問葛倫的看法,
葛倫老師就藉由這個題目來說明一下整數四則運算法則的觀念。

在乘法的表示法中,廣為大家所傳承接受的規則就是─
例子:五乘以二
5 × 2
5 ‧ 2
5 * 2

在四則運算中,廣為大家所傳承接受的法則就是─
● 一般而言,由左而右算。
● 先×÷ 後+-(先乘除後加減)。
● 有(括號)先算。
● 先算小括號,再算中括號,最後算大括號。

回到題目來:
6÷2(1+2)=?

根據四則運算法則:有(括號)先算
6÷2(1+2)
=6÷2(3)

6÷2(3)式中之2(3)是2乘以3的一種不常見的表示法(註一)
6÷2(1+2)
=6÷2(3)
=6÷2×3

再根據四則運算法則:由左而右算
6÷2(1+2)
=6÷2(3)
6÷2×3
3×3
=9

葛倫認為這是一個規則認知與遵循的問題。
首先在乘法的表示法中,你要認同2(3)=2×3,
才會得到6÷2×3這個式子,若你認為2(3)≠2×3,
那基本上這個就是一個瑕疵的式子,無須討論其結果。

其次你要遵循四則運算的規則,
葛倫解釋一下為什麼要遵循四則運算法則:

●為什麼要由左而右算,

舉個加法與減法混合的例子:
6-2+3=?

若你遵循四則運算的法則,那你會得到以下的計算過程,
6-2+3
4+3
=7

若你不是由左而右算,而是先加後減,那你會得到以下過程,
6-2+3
=6-5
=1

但根據減法的定義:減法是加法的逆運算,所以減去一個數等於加上此數的相反數。
根據減法的定義,計算過程如下:
6-2+3
6+(-2)+3
4+3
=7

6-2+3
=6+(-2)+3
=6+1
=7

此時無論你是由左而右計算,或是後兩項先算,
所得到的結果都會是7,這是因為加法有交換律的性質。

由以上例子,可以發現若加法與減法在同一式子中,
計算過程必須由左而右算,才會符合依減法的定義所計算出來的結果。

再舉個乘法與除法混合的例子:
6÷2×3=?

若你遵循四則運算的法則,那你會得到以下的計算過程,
6÷2×3
3×3
=9

若你不是由左而右算,而是先乘後除,那你會得到以下過程,
2×3
=6÷6
=1

但根據除法的定義:除法可視為乘法的逆運算,所以除以一個數等於乘上此數的倒數。
根據除法的定義,計算過程如下:
6÷2×3
6×(1/2)×3
3×3
=9

6÷2×3
=6×(1/2)×3
=6×(3/2)
=9

此時無論你是由左而右計算,或是後兩項先算,
所得到的結果都會是9,這是因為乘法有交換律的性質。

由以上例子,可以發現若乘法與除法在同一式子中,
計算過程必須由左而右算,才會符合依除法的定義所計算出來的結果。

●為什麼要先×÷ 後+-(先乘除後加減)。

舉個加法與乘法混合的例子:
6+2×3=?

若你遵循四則運算的法則,那你會得到以下的計算過程,
6+2×3
=6+6
=12

若你不是先乘除後加減,而是由左而右算,那你會得到以下過程,
6+2×3
8×3
=24

那到底是12對還是24才是正確答案?
葛倫認為數學是人們從選定的規則中推導建立起嚴謹的定理,
而且數學會被使用在世界上不同的領域,包括科學、工程、醫學和經濟學等,
若計算結果是模稜兩可或自由心證,將對嚴肅的領域造成無所適從的應用困難,
所以為求大家對結果的完全認同,
葛倫老師認為計算過程必須遵循四則運算法則,
所以6+2×3=12才是正確答案。

至於為什麼括號要先算以及先算小括號,再算中括號,最後算大括號的計算順序,
其道理也是為了確保大家的計算結果一致。

註一:2(3)這個乘法表示法請參考維基百科的英文內容↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication#Notation_and_terminology
“In algebra, multiplication involving variables is often written as a juxtaposition (e.g. xy for x times y or 5x for five times x). This notation can also be used for quantities that are surrounded by parentheses (e.g. 5(2) or (5)(2) for five times two).”

你也可以在維基百科的中文歷史內容查到2(3)這個乘法表示法,不過現在已被刪除↓
https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B9%98%E6%B3%95&oldid=16194612

不過你還是可以在韓文的維基百科中,查到2(3)這個乘法表示法↓
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EC%85%88

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