弦切角之意義與性質

例 如圖一， $\overline{PC}$ 為圓 $O$ 的一弦，直線 $AB$ 為圓 $O$ 的切線， $P$ 為切點，則 $\angle CPB$ 、 $\angle CPA$ 均為弦切角，其中 $\stackrel{\Large \frown}{CP}$ 稱為 $\angle CPB$ 的夾弧、 $\stackrel{\huge \frown}{CDP}$ 為 $\angle CPA$ 的夾弧。

例 如圖二， $\angle CPB$ 、 $\angle CPA$ 為弦切角， $\angle CDP$ 為圓周角，則：

$\angle CPB=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{CP}$

$\angle CPA=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{CDP}$

$\angle CPB=\angle CDP=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{CP}$

說明

如圖三，連接 $\overline{PO}$ 並延長交圓 $O$ 於 $Q$ 點。

$\because$ 直徑 $\overline{PQ}$ 與切線 $AB$ 相交於 $P$ 點，

$\therefore \angle QPB=90^{\circ}=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QCP}$

$\quad \angle QPA=90^{\circ}=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QDP}$

又 $\because \angle QPC=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{QC}$

$\Rightarrow \; \angle CPB=\angle QPB-\angle QPC=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QCP}-\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{QC}=\dfrac12(\stackrel{\huge \frown}{QCP}-\stackrel{\Large \frown}{QC})=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{CP}$

$\Rightarrow \; \angle CPA=\angle QPA+\angle QPC=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QDP}+\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{QC}=\dfrac12(\stackrel{\huge \frown}{QDP}+\stackrel{\Large \frown}{QC})=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{CDP}$