垂直平分線(中垂線)的性質

(1) 一線段的中垂線上任一點到此線段兩端點等距離。

說明

如圖一,直線 $L$ 為 $\overline{AB}$ 的垂直平分線, $C$ 點是直線 $L$ 上一點。

在 $\triangle ACM$ 與 $\triangle BCM$ 中,

因為 $\overline{AM}=\overline{BM}$ , $\angle AMC=\angle BMC=90^{\circ}$ , $\overline{CM}=\overline{CM}$ ,

所以 $\triangle ACM \cong \triangle BCM$ ( $SAS$ 全等性質),

得 $\overline{AC}=\overline{BC}$ 。

所以 $C$ 點到 $\overline{AB}$ 的兩端點等距離。

一線段的中垂線上任一點到此線段兩端點等距離

$$圖一$$

 

(2) 若一點到此線段兩端點等距離,則此點必在該線段的中垂線上。

說明

如圖二, $P$ 點是 $\overline{EF}$ 外一點,且 $\overline{PE}=\overline{PF}$ 。

過 $P$ 點作垂線 $M$ 交 $\overline{EF}$ 於 $N$ 點,

在 $\triangle EPN$ 與 $\triangle FPN$ 中,

因為 $\overline{PE}=\overline{PF}$ , $\angle ENP=\angle FNP=90^{\circ}$ , $\overline{PN}=\overline{PN}$ ,

所以 $\triangle EPN \cong \triangle FPN$ ( $RHS$ 全等性質),

得 $\overline{EN}=\overline{FN}$ ,所以過 $P$ 點垂直於 $\overline{EF}$ 的直線會平分 $\overline{EF}$ ,

即 $P$ 點在 $\overline{EF}$ 的垂直平分線上。

若一點到此線段兩端點等距離,則此點必在該線段的中垂線上

$$圖二$$

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