角平分線的性質

(1) 角平分線上任一點到角的兩邊等距離。

說明

如圖一,直線 $L$ 為 $\angle ABC$ 的角平分線, $P$ 是直線 $L$ 上任一點。分別從 $P$ 點作 $\overline{PQ} \perp \overline{AB}$ 和 $\overline{PR} \perp \overline{BC}$ 。

在 $\triangle PQB$ 與 $\triangle PRB$ 中,

因為 $\angle ABP=\angle CBP$ , $\angle PQB=\angle PRB=90^{\circ}$ , $\overline{BP}=\overline{BP}$ ,

所以 $\triangle PQB \cong \triangle PRB$ ( $AAS$ 全等性質),

得 $\overline{PQ}=\overline{PR}$ 。

所以 $\angle ABC$ 的角平分線上 $P$ 點到此角的兩邊等距離。

角平分線上任一點到角的兩邊等距離

$$圖一$$

 

(2) 若一點到角的兩邊等距離,則此點必在該角的角平分線上。

說明

如圖二, $G$ 點是 $\angle DEF$ 內的一點, $\overline{GH}$ 、 $\overline{GK}$ 是 $G$ 點到兩邊的距離,且 $\overline{GH}=\overline{GK}$ 。

連接 $\overline{EG}$ ,

在 $\triangle GHE$ 與 $\triangle GKE$ 中,

因為 $\overline{GH}=\overline{GK}$ , $\angle GHE=\angle GKE=90^{\circ}$ , $\overline{EG}=\overline{EG}$ ,

所以 $\triangle GHE \cong \triangle GKE$ ( $RHS$ 全等性質),

得 $\angle HEG=\angle KEG$ ,所以 $\overline{EG}$ 是 $\angle DEF$ 的角平分線,

即 $P$ 點在 $\angle DEF$ 的角平分線上。

若一點到角的兩邊等距離,則此點必在該角的角平分線上

$$圖二$$

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