證明例題─正三角形的周長與面積

如圖,正三角形 $ABC$ 中, $\overline{AD}\perp \overline{BC}$ 於 $D$ 點,且 $\overline{AB}=a$ ,試證:

(1) $\overline{AD}=\dfrac{\sqrt3}{2}a$ 。

(2) $\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$ 。

證明例題─正三角形的周長與面積

證明

(1) 在 $\triangle ADC$ 中

$\because \overline{AD}\perp \overline{BC}$ , $\angle C=60^{\circ}$ , $\angle CAD=30^{\circ}$

$\Rightarrow \; \overline{CD}:\overline{AD}:\overline{AC}=1:\sqrt3:2$

$\Rightarrow \; \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AC}}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow \; \overline{AD}=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

(2) $\triangle ABC面積=\dfrac12\times \overline{BC}\times \overline{AD}=\dfrac12\times a\times \dfrac{\sqrt3}{2}a=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

故得證

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