二次函數的極值_應用問題

二次函數應用問題的解題步驟：

1. 設未知數：依題意假設適當的未知數 $x$ 、 $y$ 。
2. 列關係式：依題意列出 $x$ 和 $y$ 的二次函數關係式。
3. 配方法求極值：利用配方法求出二次函數的最大值或最小值。
4. 驗算合理性：檢驗所求的未知數之值是否合理並符合題意。
5. 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。

例 若二數和為 $20$ ，求二數各為多少時，二數積有最大值，最大值又是多少？

解 設二數分別為 $x$ ， $20-x$ ；二數積為 $y$

依題意列式：

$\begin{array} {rl} y & =x(20-x) \\ &=20x-2^2 \\ &=-(x^2-20x) \\ &=-(x^2-20x+10^2)+10^2 \\ &=-(x-10)^2+100 \end{array}$

$\Rightarrow \; y=-(x-10)^2+100\le 100$

$\Rightarrow \;$ 當 $x=10$ 時， $y$ 有最大值 $100$ ；

另一數為 $20-x=20-10=10$

答：二數皆為 $10$ 時，二數積有最大值 $100$ 。