二次函數的極值_應用問題

二次函數應用問題的解題步驟:

  1. 設未知數:依題意假設適當的未知數 $x$ 、 $y$ 。
  2. 列關係式:依題意列出 $x$ 和 $y$ 的二次函數關係式。
  3. 配方法求極值:利用配方法求出二次函數的最大值或最小值。
  4. 驗算合理性:檢驗所求的未知數之值是否合理並符合題意。
  5. 寫答:寫出問題所要求的答案,並注意單位。

若二數和為 $20$ ,求二數各為多少時,二數積有最大值,最大值又是多少?

設二數分別為 $x$ , $20-x$ ;二數積為 $y$

依題意列式:

$\begin{array} {rl} y & =x(20-x) \\ &=20x-2^2 \\ &=-(x^2-20x) \\ &=-(x^2-20x+10^2)+10^2 \\ &=-(x-10)^2+100 \end{array}$

$\Rightarrow \; y=-(x-10)^2+100\le 100$

$\Rightarrow \;$ 當 $x=10$ 時, $y$ 有最大值 $100$ ;

另一數為 $20-x=20-10=10$

答:二數皆為 $10$ 時,二數積有最大值 $100$ 。

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