連比例式的性質─倍數關係

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都不為 $0$ ，且 $x:y:z=a:b:c$ ，則：

$x=ak$ ， $y=bk$ ， $z=ck$ ， 其中 $k\neq 0$ 。

說明

若 $x:y:z=a:b:c$ ，由比例式的恆等關係得 $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ ，

設 $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k$ $\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{a}=k \\ \dfrac{y}{b}=k \\ \dfrac{z}{c}=k \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x=ak \\ y=bk \\ z=ck \end{cases}$

例 設 $x:y:z=2:3:5$ ，求

1. $6x:7y:8z$
2. $(x+y):(y+z):(z+x)$
3. $x^2:y^2:z^2$

解

$x:y:z=2:3:5$ ，設 $x=2k$ ， $y=3k$ ， $z=5k(k\neq 0)$

1. $6x:7y:8z=6(2k):7(3k):8(5k)=12k:21k:40k=12:21:40$
2. $(x+y):(y+z):(z+x)=(2k+3k):(3k+5k):(5k+2k)=5k:8k:7k=5:8:7$
3. $x^2:y^2:z^2=(2k)^2:(3k)^2:(5k)^2=4k^2:9k^2:25k^2=4:9:25$