二元一次聯立方程式的幾何意義
二元一次聯立方程式在直角坐標平面上的圖形為兩條直線。
兩直線相交於一點：
在坐標平面上，若兩條直線相交於一點，則此點坐標即為二元一次聯立方程式的解。反之，二元一次聯立方程式恰有一組解，這組解所代表的點就是這兩個二元一次方程式在直角坐標平面上，兩直線的交點坐標。
例 在直角坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 $\begin{cases} x+y=2 \\ x-2y=-1 \end{cases}$ 的圖形，並標示它們的交點坐標。
解
畫出方程式 $x+y=2$ 的圖形。
| $x$ | $2$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $2$ |
畫出方程式 $x-2y=-1$ 的圖形。
| $x$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $\dfrac12$ |
兩直線相交於 $(1,1)$ ，所以 $x=1$ ， $y=1$ 即為此聯立方程式 $\begin{cases} x+y=2 \\ x-2y=-1 \end{cases}$ 的解。
兩直線重合：
在坐標平面上，若兩條直線重合，則這兩個二元一次方程式聯立後的解有無限多組。反之，若二元一次聯立方程式有無限多組解，則兩直線重合。
例 在直角坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 $\begin{cases} x+y=2 \\ 2x+2y=4 \end{cases}$ 的圖形。
解
畫出方程式 $x+y=2$ 的圖形。
| $x$ | $2$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $2$ |
畫出方程式 $2x+2y=4$ 的圖形。
| $x$ | $2$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $2$ |
兩直線重合，所以此聯立方程式 $\begin{cases} x+y=2 \\ 2x+2y=4 \end{cases}$ 有無限多組解。
兩直線平行：
在坐標平面上，若兩條直線平行，則這兩個二元一次方程式聯立後無解。反之，若二元一次聯立方程式無解，則兩直線沒有交點（平行）。
例 在直角坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 $\begin{cases} x+y=2 \\ 2x+2y=6 \end{cases}$ 的圖形。
解
畫出方程式 $x+y=2$ 的圖形。
| $x$ | $2$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $2$ |
畫出方程式 $2x+2y=6$ 的圖形。
| $x$ | $3$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $3$ |
兩直線平行，所以此聯立方程式 $\begin{cases} x+y=2 \\ 2x+2y=6 \end{cases}$ 無解。
★ 設二元一次聯立方程式為 $\begin{cases} a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2 \end{cases}$ ，其解與圖形的關係：
| 圖形類型 | 判別式 | 圖形 | 幾何意義 |
|---|---|---|---|
| 恰有一組解 | $\dfrac{a_1}{a_2}\neq \dfrac{b_1}{b_2}$ |  |
兩直線相交於一點 |
| 無限多組解 | $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ |  |
兩直線重疊 |
| 無解 | $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq \dfrac{c_1}{c_2}$ |  |
兩直線平行 |
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(8)二元一次聯立方程式的幾何意義4:32 |
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