多邊形的外心與外接圓

定義:若一多邊形的所有頂點都在同一圓上,則此多邊形為圓內接多邊形,此圓為多邊形的外接圓,圓心稱為此多邊形的外心。

如圖一, $O_1$ 、 $O_2$ 、 $O_3$ 分別為各多邊形的外心。

多邊形的外心與外接圓

$$圖一$$

★ 並非所有的多邊形都有外接圓。

 

性質:

(1) 圓內接多邊形每一邊的中垂線會交於一點,此交點即為多邊形的外心,且外心到各頂點等距離,此距離為外接圓的半徑,如圖二所示。

多邊形的外心與外接圓性質

$$圖二$$

(2) 若一四邊形對角互補,則此四邊形為圓內接四邊形,其外接圓的圓心為四邊形的外心。

如圖三, $\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$ ,則四邊形 $ABCD$ 為圓內接四邊形, $O$ 點為四邊形 $ABCD$ 的外心。

四邊形的外心與外接圓性質

$$圖三$$

 

判別:

若一多邊形各邊的中垂線同時交於一點,則此多邊形為圓內接多邊形。

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