認識幾何推理證明

定義:一種人為的廣泛、通用的解釋意義,稱為定義。

直角三角形的定義:一個三角形的其中一個內角為 $90^{\circ}$ 時,便稱為直角三角形。

 

公理:一種被假定為真的邏輯陳述,稱為公理。

等量公理: $a=b\;\Rightarrow\;a+c=b+c$

 

定理:一種在邏輯限制下,被證明為真的陳述,稱為定理。

勾股定理:任一直角三角形中,兩股平方和等於斜邊的平方。

 

證明:一種根據已知條件及已知為真的幾何性質,逐步有據地推導出結論的幾何推理過程,稱為證明。

證明方法:

(1) 直觀證明法:以圖像或表格等直觀的方式來進行證明過程的方法,稱為直觀證明法,又稱為操作實驗法。

如圖一是三角形的內角和定理的一個圖示證明。

直觀證明法─三角形的內角和定理的一個圖示證明

$$圖一$$

(2) 幾何推理法:證明的過程常寫成「已知、求證、證明的格式」,其中:

已知:題目給定的條件。

求證:題目所要得到的結論。

證明:由已知推導出結論的推理過程。

已知:如圖二, $\angle 1$ 是 $\angle ACB$ 的外角。

求證: $\angle 1=\angle A+\angle B$ 。

證明

過 $C$ 點作直線 $L\; /\!/ \;\overline{AB}$ ,如圖三所示

$\because \angle A=\angle 2$ (內錯角相等),

$\quad \angle B=\angle 3$ (同位角相等),

又 $\because \angle 1=\angle 2+\angle 3$

$\Rightarrow \; \angle 1=\angle A+\angle B$

故得證

★ 在證明過程中,輔助聯繫已知到求證之間關係所添加的圖形,稱為輔助線,如上個例題中的直線 $L$ 。

幾何推理法─證明三角形的外角定理

$$圖二$$

幾何推理法─證明三角形的外角定理─輔助線

$$圖三$$

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