證明例題─數線上與坐標平面上的中點坐標

數線上的中點坐標:

如圖一, 在數線上有 $A(a)$ 、 $B(b)$ 兩點,若 $M$ 為 $\overline{AB}$ 的中點,試證 $M$ 的坐標為 $(\dfrac{a+b}{2})$ 。

數線上的中點坐標

$$圖一$$

證明

設 $M$ 的坐標為 $(x)$

$\because x-a=b-x$

$\Rightarrow \; 2x=a+b$

$\Rightarrow \; x=\dfrac{a+b}{2}$

$\therefore M$ 點的坐標為 $(\dfrac{a+b}{2})$

故得證

 

坐標平面上的中點坐標:

如圖二,在坐標平面上有 $A(a_1,b_1)$ 、 $B(a_2,b_2)$ 兩點,若 $M$ 為 $\overline{AB}$ 的中點,試證 $M$ 的坐標為 $(\dfrac{a_1+a_2}{2},\dfrac{b_1+b_2}{2})$ 。

坐標平面上的中點坐標

$$圖二$$

證明

過 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 三點分別作兩軸的垂線

$\Rightarrow \; M$ 的 $x$ 坐標為 $\dfrac{a_1+a_2}{2}$ , $y$ 坐標為 $\dfrac{b_1+b_2}{2}$

$\therefore M$ 點的坐標為 $(\dfrac{a_1+a_2}{2},\dfrac{b_1+b_2}{2})$

故得證

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