等差級數前n項和公式的推導

若公差為 $d$ 的等差數列 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $\cdots$ ， $a_n$ ，前 $n$ 項的總和為 $S_n$ ，即 $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ ，則：

1. $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ （已知首項、末項及項數）
2. $S_n=\dfrac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$ （已知首項、公差及項數）

說明

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n$

也可寫為 $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_3+a_2+a_1$

若以公差 $d$ 表示，則：

$\quad S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n \; \cdots ①$

或 $S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+\cdots +(a_1+2d)+(a_1+d)+a_1 \; \cdots ②$

由 $①+②$ 得

$2S_n=\underbrace{(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots +(a_1+a_n)}_{共 n 項}=n(a_1+a_n)$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

又 $\because a_n=a_1+(n-1)d$

$\quad \therefore S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n[a_1+a_1+(n-1)d]}{2}=\dfrac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$