三角形外角和定理之推導

如圖， $\angle 1$ 、 $\angle 2$ 、 $\angle 3$ 分別是 $\angle A$ 、 $\angle B$ 、 $\angle C$ 的一組外角， 因為三角形的一個外角與它的內角互補。

所以

$\begin{array} {l} \angle 1+\angle A=180^{\circ} \; \cdots ① \\ \angle 2+\angle B=180^{\circ} \; \cdots ② \\ \angle 3+\angle C=180^{\circ} \; \cdots ③ \end{array}$

由 $①+②+③$ 得

$\begin{array} {rl} &(\angle 1+\angle A)+(\angle 2+\angle B)+(\angle 3+\angle C)=180^{\circ} \times 3 \\ \Rightarrow & \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle A+\angle B+\angle C=540^{\circ} \\ \Rightarrow & \angle 1+\angle 2+\angle 3+180^{\circ}=540^{\circ} \quad （\because 三角形的內角和=180^{\circ}） \\ \Rightarrow & \angle 1+\angle 2+\angle 3=360^{\circ} \end{array}$

所以 $\triangle ABC$ 的一組外角和為 $360^{\circ}$ 。