利用長方體來認識空間中直線與平面的關係

長方體:由 $6$ 個長方形的面所圍成的六面體,稱為長方體。

圖一是一個長方體,其中邊與面的關係如下:

(1) 每個頂點上有 $3$ 條邊,且兩兩互相垂直。

與 $A$ 點連接的邊有 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AD}$ 、 $\overline{AE}$ ,且 $\overline{AB}\perp \overline{AD}$ 、 $\overline{AD}\perp \overline{AE}$ 、 $\overline{AB}\perp \overline{AE}$ 。

(2) 每個頂點上的任一邊,與另兩邊所構成的面互相垂直。

$\overline{AB}$ 與 $B$ 點連接,且 $\overline{AB}\perp$ 長方形 $BCGF$ 。

(3) 相鄰的兩面會互相垂直。

長方形 $BCGF$ 分別與長方形 $ABCD$ 、長方形 $ABFE$ 相鄰,且長方形 $BCGF$ $\perp$ 長方形 $ABCD$ ,長方形 $BCGF \perp$ 長方形 $ABFE$ 。

長方體

$$圖一$$

 

利用長方體觀察兩平面的垂直關係:

如圖二,將一長方體放在相交的兩平面 $E_1$ 與 $E_2$ 之間,若 $E_1$ 、 $E_2$ 兩平面與長方體相鄰的兩面完全密合,則稱此兩平面互相垂直,可記為 $E_1\perp E_2$ ;若 $E_1$ 、 $E_2$ 兩平面無法與長方體相鄰的兩面密合,如圖三或圖四,則稱此兩平面不互相垂直。

利用長方體觀察兩平面的垂直關係─兩平面垂直

$$圖二 兩平面垂直$$

 

利用長方體觀察兩平面的垂直關係─兩平面部垂直(一)

$$圖三 兩平面不垂直$$

 

利用長方體觀察兩平面的垂直關係─兩平面垂直(二)

$$圖四 兩平面不垂直$$

 

 

利用長方體觀察直線與平面的垂直關係:

如圖五,將一長方體放在平面 $E$ 上,若直線 $L$ 會與長方體的一個高密合,則稱直線 $L$ 與平面 $E$ 垂直,可記為 $L\perp E$ ;若直線 $L$ 與長方體的高無法密合,如圖六,則稱直線 $L$ 與平面 $E$ 不垂直。

如圖七,若直線 $L$ 與平面 $E$ 互相垂直,且交點為 $P$ ,則平面 $E$ 上通過 $P$ 點的任一直線皆與直線 $L$ 垂直。

利用長方體觀察直線與平面的垂直關係─直線與平面垂直

$$圖五 直線與平面垂直$$

 

利用長方體觀察直線與平面的垂直關係─直線與平面不垂直

$$圖六 直線與平面不垂直$$

 

利用長方體觀察直線與平面的垂直關係:

$$圖七$$

 

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