垂直平分線(中垂線)的性質與判別

說明

如圖一，直線 $L$ 為 $\overline{AB}$ 的垂直平分線， $C$ 點是直線 $L$ 上一點。

在 $\triangle ACM$ 與 $\triangle BCM$ 中，

因為 $\overline{AM}=\overline{BM}$ ， $\angle AMC=\angle BMC=90^{\circ}$ ， $\overline{CM}=\overline{CM}$ ，

所以 $\triangle ACM \cong \triangle BCM$ （ $SAS$ 全等性質），

得 $\overline{AC}=\overline{BC}$ 。

所以 $C$ 點到 $\overline{AB}$ 的兩端點等距離。

說明

如圖二， $P$ 點是 $\overline{EF}$ 外一點，且 $\overline{PE}=\overline{PF}$ 。

過 $P$ 點作垂線 $M$ 交 $\overline{EF}$ 於 $N$ 點，

在 $\triangle EPN$ 與 $\triangle FPN$ 中，

因為 $\overline{PE}=\overline{PF}$ ， $\angle ENP=\angle FNP=90^{\circ}$ ， $\overline{PN}=\overline{PN}$ ，

所以 $\triangle EPN \cong \triangle FPN$ （ $RHS$ 全等性質），

得 $\overline{EN}=\overline{FN}$ ，所以過 $P$ 點垂直於 $\overline{EF}$ 的直線會平分 $\overline{EF}$ ，

即 $P$ 點在 $\overline{EF}$ 的垂直平分線上。