角平分線的性質與判別

說明

如圖一，直線 $L$ 為 $\angle ABC$ 的角平分線， $P$ 是直線 $L$ 上任一點。分別從 $P$ 點作 $\overline{PQ} \perp \overline{AB}$ 和 $\overline{PR} \perp \overline{BC}$ 。

在 $\triangle PQB$ 與 $\triangle PRB$ 中，

因為 $\angle ABP=\angle CBP$ ， $\angle PQB=\angle PRB=90^{\circ}$ ， $\overline{BP}=\overline{BP}$ ，

所以 $\triangle PQB \cong \triangle PRB$ （ $AAS$ 全等性質），

得 $\overline{PQ}=\overline{PR}$ 。

所以 $\angle ABC$ 的角平分線上 $P$ 點到此角的兩邊等距離。

說明

如圖二， $G$ 點是 $\angle DEF$ 內的一點， $\overline{GH}$ 、 $\overline{GK}$ 是 $G$ 點到兩邊的距離，且 $\overline{GH}=\overline{GK}$ 。

連接 $\overline{EG}$ ，

在 $\triangle GHE$ 與 $\triangle GKE$ 中，

因為 $\overline{GH}=\overline{GK}$ ， $\angle GHE=\angle GKE=90^{\circ}$ ， $\overline{EG}=\overline{EG}$ ，

所以 $\triangle GHE \cong \triangle GKE$ （ $RHS$ 全等性質），

得 $\angle HEG=\angle KEG$ ，所以 $\overline{EG}$ 是 $\angle DEF$ 的角平分線，

即 $P$ 點在 $\angle DEF$ 的角平分線上。