等腰三角形的性質

說明

如圖一， $\triangle ABC$ 為等腰三角形，

作 $\angle A$ 的角平分線 $\overline{AM}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $M$ 點，

在 $\triangle ABM$ 與 $\triangle ACM$ 中，

因為 $\angle BAM=\angle CAM$ ， $\overline{AB}=\overline{AC}$ ， $\overline{AM}=\overline{AM}$ ，

所以 $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ （ $SAS$ 全等性質），

得 $\angle B=\angle C$ 。

說明

如圖二， $\triangle ABC$ 為等腰三角形， $\overline{AD}$ 為 $\angle BAC$ 的角平分線交 $\overline{BC}$ 於 $D$ 點。

在 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 中，

因為 $\angle BAD=\angle CAD$ ， $\overline{AB}=\overline{AC}$ ， $\overline{AD}=\overline{AD}$ ，

所以 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ （ $SAS$ 全等性質），得

$①\; \overline{BD}=\overline{CD}$ ，所以 $\overline{AD}$ 平分 $\overline{BC}$ 。

$②\; \angle ADB=\angle ADC$ ，且 $\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}$ ，

所以 $\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$ ，即 $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ 。

所以 $\overline{AD}$ 會垂直平分 $\overline{BC}$ 。

說明

如圖三， $\triangle ABC$ 為等腰三角形，

作 $\overline{BC}$ 的垂直平分線 $L$ 交 $\overline{BC}$ 於 $M$ 點，因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$ ，根據中垂線性質，可得知 $A$ 點在 $L$ 上。

即 $\overline{BC}$ 的垂直平分線通過頂點 $A$ 。

在 $\triangle ABM$ 與 $\triangle ACM$ 中，

因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$ ， $\overline{BM}=\overline{CM}$ ， $\overline{AM}=\overline{AM}$ ，

所以 $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ （ $SSS$ 全等性質），

得 $\angle BAM=\angle CAM$ 。

所以 $\overline{AM}$ 會平分頂角 $\angle BAC$ 。