已知拋物線上任三點求二次函數
如圖,已知二次函數圖形上的三點坐標分別為 $(m,n)$ 、 $(p,q)$ 、 $(r,s)$ ,求此二次函數,其步驟如下:
- 設 $y=ax^2+bx+c\;(a\neq 0)$ ,
並分別將 $(m,n)$ 、 $(p,q)$ 、 $(r,s)$ 代入。 - 解聯立方程式
$\begin{cases} n=am^2+bm+c \\ q=ap^2+bp+c \\ s=ar^2+br+c \end{cases}$ ,求出 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。 - 將 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 代入 $y=ax^2+bx+c$ ,
即可求得二次函數。
例 已知二次函數的圖形通過 $(0,3)$ 、 $(1,4)$ 、 $(3,9)$ ,求此函數的最低點坐標為何?
解 設 $y=ax^2+bx+c\;(a\neq 0)$
將 $(0,3)$ 、 $(1,4)$ 、 $(3,9)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$
$\Rightarrow \; \begin{cases} 3=0+0+c & \cdots & ① \\ 4=a+b+c & \cdots & ② \\ 9=9a+3b+c & \cdots & ③ \end{cases}$
由 $① \; \Rightarrow \; c=3$
將 $c=3$ 代入 $②$ 、 $③$
$\Rightarrow \; \begin{cases} 4=a+b+3 \\ 9=9a+3b+3 \end{cases}$
$\Rightarrow \; \begin{cases} a+b=1 \\ 9a+3b=6 \end{cases}$
$\Rightarrow \; \begin{cases} a=\dfrac12 \\ b=\dfrac12 \end{cases}$
$y=ax^2+bx+c$
$\begin{array} {rl} \Rightarrow \; y & =\dfrac12x^2+\dfrac12x+3 \\ &=\dfrac12(x^2+x)+3 \\ &=\dfrac12[x^2+x+(\dfrac12)^2]-\dfrac18+3 \\ &=\dfrac12(x+\dfrac12)^2+\dfrac{23}{8} \end{array}$
當 $x=-\dfrac12$ 時, $y=\dfrac{23}{8}$
$\therefore$ 此二次函數的最低點坐標為 $(-\dfrac12,\dfrac{23}{8})$
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