已知拋物線的頂點求二次函數

如圖，已知二次函數圖形的頂點 $(h,k)$ ，及其圖形上一點 $(m,n)$ ，求此二次函數，其步驟如下：

  1. 由頂點 $(h,k)$ 為已知
    $\Rightarrow$ 設 $y=a(x-h)^2+k\;(a\neq 0)$ 。
  2. 將其圖形上一點 $(m,n)$ ，
    代入 $y=a(x-h)^2+k$
    $\Rightarrow n=a(m-h)^2+k$ ，求出 $a$ 。
  3. 將 $a$ 代入 $y=a(x-h)^2+k$ ，
    即可求得二次函數。

已知拋物線的頂點求二次函數

例 已知 $y=ax^2+bx+c\;(a\neq 0)$ 的圖形頂點為 $(2,3)$ ，且圖形通過 $(1,5)$ ，求 $a=?$ ， $b=?$ ， $c=?$

解 設 $y=a(x-2)^2+3\;(a\neq 0)$

將 $(1,5)$ 代入 $y=a(x-2)^2+3$

$\Rightarrow \; 5=a(1-2)^2+3$

$\Rightarrow \; a=2$

將 $a=2$ 代入 $y=a(x-2)^2+3$

$\begin{array} {rl} \Rightarrow \; y & =2(x-2)^2+3 \\ &=2(x^2-4x+4)+3 \\ &=2x^2-8x+8+3 \\ &=2x^2-8x+11 \end{array}$

$y=2x^2-8x+11$ 與 $y=ax^2+bx+c$ 比較係數

$\Rightarrow \; a=2$ ， $b=-8$ ， $c=11$

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