已知拋物線與x軸的二交點求二次函數
如圖,已知二次函數圖形與 $x$ 軸交於 $(\alpha ,0)$ 、 $(\beta ,0)$ ,及其圖形上一點 $(m,n)$ ,求此二次函數,其步驟如下:
- 由 $(\alpha ,0)$ 、 $(\beta ,0)$ 為已知
$\Rightarrow$ 設 $y=a(x-\alpha )(x-\beta )\;(a\neq 0)$ 。 - 將其圖形上一點 $(m,n)$ ,
代入 $n=a(m-\alpha )(m-\beta )$ ,求出 $a$ 。 - 將 $a$ 代入 $y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ ,
即可求得二次函數。
例 已知 $y=ax^2+bx+c\;(a\neq 0)$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $(5,0)$ 、 $(-3,0)$ ,且圖形通過 $(1,8)$ ,求 $a=?$ , $b=?$ , $c=?$
解 設 $y=a(x-5)(x+3)\;(a\neq 0)$
將 $(1,8)$ 代入 $y=a(x-5)(x+3)$
$\Rightarrow \; 8=a(1-5)(1+3)$
$\Rightarrow \; a=-\dfrac12$
將 $a=-\dfrac12$ 代入 $y=a(x-5)(x+3)$
$\begin{array} {rl} \Rightarrow \; y & =-\dfrac12(x-5)(x+3) \\ &=-\dfrac12(x^2+3x-5x-15) \\ &=-\dfrac12(x^2-2x-15) \\ &=-\dfrac12x^2+x+\dfrac{15}{2} \end{array}$
$y=-\dfrac12x^2+x+\dfrac{15}{2}$ 與 $y=ax^2+bx+c$ 比較係數
$\Rightarrow \; a=-\dfrac12$ , $b=1$ , $c=\dfrac{15}{2}$
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(10)已知拋物線與x軸的二交點求二次函數7:34 |
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