已知拋物線與x軸的二交點求二次函數

如圖，已知二次函數圖形與 $x$ 軸交於 $(\alpha ,0)$ 、 $(\beta ,0)$ ，及其圖形上一點 $(m,n)$ ，求此二次函數，其步驟如下：

  1. 由 $(\alpha ,0)$ 、 $(\beta ,0)$ 為已知
    $\Rightarrow$ 設 $y=a(x-\alpha )(x-\beta )\;(a\neq 0)$ 。
  2. 將其圖形上一點 $(m,n)$ ，
    代入 $n=a(m-\alpha )(m-\beta )$ ，求出 $a$ 。
  3. 將 $a$ 代入 $y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ ，
    即可求得二次函數。

已知拋物線與x 軸的二交點求二次函數

例 已知 $y=ax^2+bx+c\;(a\neq 0)$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $(5,0)$ 、 $(-3,0)$ ，且圖形通過 $(1,8)$ ，求 $a=?$ ， $b=?$ ， $c=?$

解 設 $y=a(x-5)(x+3)\;(a\neq 0)$

將 $(1,8)$ 代入 $y=a(x-5)(x+3)$

$\Rightarrow \; 8=a(1-5)(1+3)$

$\Rightarrow \; a=-\dfrac12$

將 $a=-\dfrac12$ 代入 $y=a(x-5)(x+3)$

$\begin{array} {rl} \Rightarrow \; y & =-\dfrac12(x-5)(x+3) \\ &=-\dfrac12(x^2+3x-5x-15) \\ &=-\dfrac12(x^2-2x-15) \\ &=-\dfrac12x^2+x+\dfrac{15}{2} \end{array}$

$y=-\dfrac12x^2+x+\dfrac{15}{2}$ 與 $y=ax^2+bx+c$ 比較係數

$\Rightarrow \; a=-\dfrac12$ ， $b=1$ ， $c=\dfrac{15}{2}$

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