分數之乘方與指數律

分數之乘方：若 $a$ 、 $b$ 為整數，且 $b\neq 0$ ，則 $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

例 $\left(\dfrac25\right)^3=\dfrac25\times \dfrac25\times \dfrac25=\dfrac{2\times 2\times 2}{5\times 5\times 5}=\dfrac{2^3}{5^3}$

分數之指數律：若 $a$ 、 $b$ 是不為 $0$ 的分數， $m$ 、 $n$ 是任意正整數。

  1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 【★同底相乘指數相加】

    2. 例 $\left(\dfrac25\right)^3\times \left(\dfrac25\right)^4=\left(\dfrac25\right)^{3+4}=\left(\dfrac25\right)^7$

  2. $a^m\div a^n=a^{m-n}$ 【★同底相除指數相減】

    3. 例 $\left(-\dfrac25\right)^7\div \left(-\dfrac25\right)^3=\left(-\dfrac25\right)^{7-3}=\left(-\dfrac25\right)^4$

  3. $(a^m)^n=a^{m\times n}$ 【★乘方再乘方指數相乘】

    4. 例 $\left[(6\dfrac25)^3\right]^4=\left(6\dfrac25\right)^{3\times 4}=\left(6\dfrac25\right)^{12}$

  4. $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ 【★相乘後乘方＝乘方後相乘】

    5. 例 $\left(\dfrac43\right)^7\times \left(-\dfrac54\right)^7=\left[\dfrac43\times \left(-\dfrac54\right)\right]^7=\left(-\dfrac53\right)^7$

  5. $a^0=1$

    6. 例 $\left(-\dfrac{379}{973}\right)^0=1$

  6. $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

    7. 例 $\left(\dfrac23\right)^{-4}=\dfrac{1}{\left(\dfrac23\right)^4}=1\div \left(\dfrac23\right)^4=1\div \dfrac{2^4}{3^4}=1\times \dfrac{3^4}{2^4}=\dfrac{3^4}{2^4}=\dfrac{81}{16}$

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