比例式的性質─倍數關係

設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 為任意四個不為零的數，且 $a:b=c:d$ ，則：

存在一個數 $k(k\neq 0)$ ，使得 $a=ck$ ， $b=dk$ 。

說明

若 $a:b=c:d$ ，由比例式的恆等關係得 $a:c=b:d$ ，即 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ ，

設 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k(k\neq 0)$ $\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{a}{c}=k \\ \dfrac{b}{d}=k \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} a=ck \\ b=dk \end{cases}$

例 設 $x:y=2:3$ ，求

1. $4x:5y$
2. $(x+y):y$
3. $x^2:y^2$

解

$x:y=2:3$ ，設 $x=2k$ ， $y=3k(k\neq 0)$

1. $4x:5y=4(2k):5(3k)=8k:15k=8:15$
2. $(x+y):y=(2k+3k):3k=5k:3k=5:3$
3. $x^2:y^2=(2k)^2:(3k)^2=4k^2:9k^2=4:9$