相似三角形之判別─SSS相似性質

如果兩個三角形中有三組邊長對應成比例,則這兩個三角形相似,此性質稱為「 $SSS$ 相似性質」。

如圖, $\triangle ABC$ 與 $\triangle PQR$ 中, $\overline{AB}:\overline{PQ}=\overline{BC}:\overline{QR}=\overline{CA}:\overline{RP}$ ,試說明 $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ 。

相似三角形之判別─ SSS 相似性質

說明

在 $\overline{PQ}$ 上取一點 $S$,使得 $\overline{PS}=\overline{AB}$ 。

過 $S$ 作平行線交 $\overline{PR}$ 於 $T$ $\Rightarrow \overline{ST}\; /\!/ \;\overline{QR}\;$

$\Rightarrow \; \angle PST=\angle Q$ , $\angle PTS=\angle R$ (同位角相等)

$\Rightarrow \; \triangle PST \sim \triangle PQR$ ( $AA$ 相似性質)

$\Rightarrow \; \overline{PS}:\overline{PQ}=\overline{ST}:\overline{QR}=\overline{TP}:\overline{RP}\;$ (對應邊成比例)

又 $\because \; \overline{AB}:\overline{PQ}=\overline{BC}:\overline{QR}=\overline{CA}:\overline{RP}\;$

$\Rightarrow \; \overline{AB}=\overline{PS}$ , $\overline{BC}=\overline{ST}$ , $\overline{CA}=\overline{TP}$

$\Rightarrow \; \triangle ABC \cong \triangle PST$ ( $SSS$ 全等性質)

又 $\because \; \triangle PST \sim \triangle PQR$

$\therefore \triangle ABC \sim \triangle PQR$ 。

相似三角形之判別─ SSS 相似性質說明

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