三角形邊長與截線成比例線段之討論

如圖一，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 、 $E$ 分別在 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 上，若 $\overline{DE}\; /\!/ \;\overline{BC}$ ，則 $\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{DE}:\overline{BC}$ 。

說明

在 $\overline{BC}$ 上取一點 $F$ ，使得 $\overline{FC}=\overline{DE}$ ，連接 $\overline{DF}$ ，如圖二所示。

$\because \overline{DE}\; /\!/ \;\overline{CF}\;$ 且 $\overline{DE}=\overline{FC}$

$\therefore$ 四邊形 $DECF$ 為平行四邊形

$\Rightarrow \; \overline{DF}\; /\!/ \;\overline{EC}\;$ $\Rightarrow \; \overline{DF}\; /\!/ \;\overline{AC}$

$\Rightarrow \; \overline{AD}:\overline{AB}=\overline{CF}:\overline{BC}$

$\Rightarrow \; \overline{AD}:\overline{AB}=\overline{DE}:\overline{BC}$

★ 在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 、 $E$ 分別在 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 上，若 $\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{DE}:\overline{BC}$ ，則 $\overline{DE}$ 不一定平行於 $\overline{BC}$ ，如圖三所示。