平行線截三角形兩邊成比例線段性質之說明

如圖一，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 、 $E$ 分別在 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 上。

若 $\overline{DE}\; /\!/ \;\overline{BC}$ ，則

1. $\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}$
2. $\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}$
3. $\overline{AB}:\overline{DB}=\overline{AC}:\overline{EC}$

說明 連接 $\overline{CD}$ 、 $\overline{BE}$ ，如圖二所示：

(1) $\triangle ADE\,面積:\triangle DBE\,面積=\overline{AD}:\overline{DB}$

$\triangle ADE\,面積:\triangle DEC\,面積=\overline{AE}:\overline{EC}$

$\because \overline{DE}\; /\!/ \;\overline{BC}\;$ $\Rightarrow \triangle DBE\,面積=\triangle DEC\,面積$

$\therefore \overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}$

(2) $\triangle ADE\,面積:\triangle ABE\,面積=\overline{AD}:\overline{AB}$

$\triangle ADE\,面積:\triangle ADC\,面積=\overline{AE}:\overline{AC}$

$\because \overline{DE}\; /\!/ \;\overline{BC}\;$ $\Rightarrow \triangle ABE\,面積=\triangle ADC\,面積$

$\therefore \overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}$

(3) $\triangle ABE\,面積:\triangle DBE\,面積=\overline{AB}:\overline{DB}$

$\triangle ADC\,面積:\triangle DEC\,面積=\overline{AC}:\overline{EC}$

$\because \triangle DBE\,面積=\triangle DBC\,面積$ ，

$\quad \triangle ABE\,面積=\triangle ADC\,面積$

$\therefore \overline{AB}:\overline{DB}=\overline{AC}:\overline{EC}$