內公切線段長公式之推導

例 如圖一，試推導內公切線段長公式 $\overline{AB}=\sqrt{{\overline{O_{1}O_{2}}}^2-(r_1+r_2)^2}$

說明

過圓 $O_2$ 的圓心，作平行 $\overline{AB}$ 的直線交 $\overline{O_1A}$ 的延長線於 $C$ 點，如圖二所示。

$\because \overline{O_2C}\; /\!/ \;\overline{AB}\;$ 且 $\angle O_1AB=90^{\circ}$ （ $A$ 為切點）

$\therefore \angle O_1CO_2=\angle O_1AB=90^{\circ}$ （同位角相等）

且 $\overline{O_2C}=\overline{AB}\;$ 、 $\overline{AC}=r_2\;$ （平行線間的距離相等）

在 $\triangle O_1CO_2$ 中

$\because \angle O_1CO_2=90^{\circ}$

$\therefore {\overline{O_2C}}^2={\overline{O_1O_2}}^2-{\overline{O_1C}}^2$ （勾股定理）

$\Rightarrow \; {\overline{AB}}^2={\overline{O_1O_2}}^2-(r_1+r_2)^2$

$\Rightarrow \; \overline{AB}=\pm \sqrt{{\overline{O_{1}O_{2}}}^2-(r_1+r_2)^2}\;$ （負不合）