三角形的內切圓半徑與三角形面積

【已知】如圖一， $\triangle ABC$ 三邊長分別為 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，周長為 $s$ ， $I$ 為內心， $r$ 為內切圓半徑。

【求證】

(1) $\triangle IAB:\triangle IBC:\triangle ICA=\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}$

(2) $\triangle ABC 面積=\dfrac12rs$

【證明】

(1) 作 $\overline{ID}\perp \overline{AB}$ ， $\overline{IE}\perp \overline{BC}$ ， $\overline{IF}\perp \overline{AC}$ ，如圖二所示，

$\because I$ 是 $\triangle ABC$ 的內心

$\therefore \overline{ID}=\overline{IE}=\overline{IF}$

$\therefore \triangle IAB:\triangle IBC:\triangle ICA$

$=\dfrac12\times \overline{AB}\times \overline{ID}:\dfrac12\times \overline{BC}\times \overline{IE}:\dfrac12\times \overline{CA}\times \overline{IF}$

$=\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}$

(2) $\quad \, \triangle ABC$ 面積

$=\triangle IAB+\triangle IBC+\triangle ICA$

$=\dfrac12\times a\times r+\dfrac12\times b\times r+\dfrac12\times c\times r$

$=\dfrac12\times r\times (a+b+c)$

$=\dfrac12rs$

故得證