三角形的重心均分三角形面積

重心與三頂點的連線將三角形面積三等分。

三角形的三中線將三角形面積六等分。

【證明】

(1) $\because G$ 為 $\triangle ABC$ 的重心

$\therefore \overline{BD}=\overline{CD}$

$\Rightarrow \triangle ABD=\triangle ACD$ ， $\triangle BGD=\triangle CGD$ （等底同高）

$\Rightarrow \triangle ABD-\triangle BGD=\triangle ACD-\triangle CGD$

$\Rightarrow \triangle ABG=\triangle ACG$

同理 $\triangle ACG=\triangle BCG$

$\Rightarrow \triangle AGB=\triangle BGC=\triangle CGA$

(2) $\triangle BGD=\triangle CGD=\dfrac12\triangle BGC=\dfrac12\times \dfrac13\triangle ABC=\dfrac16\triangle ABC$

同理 $\triangle AGE=\triangle CGE=\dfrac12\triangle AGC=\dfrac16\triangle ABC$ ，

$\triangle AGF=\triangle BGF=\dfrac12\triangle AGB=\dfrac16\triangle ABC$

$\Rightarrow \triangle AGF=\triangle BGF=\triangle BGD=\triangle CGD=\triangle CGE=\triangle EGA$

故得證