正三角形的外心、內心、重心為同一點

【證明】

設 $O$ 為 $\triangle ABC$ 的內心

$\Rightarrow \; \angle BAD=\angle CAD$

在 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 中

$\because \angle BAD=\angle CAD$ ， $\overline{AB}=\overline{AC}$ ， $\overline{AD}=\overline{AD}$

$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD$ （ $SAS$ 全等性質）

$\Rightarrow \overline{BD}=\overline{CD}$ ， $\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$

$\Rightarrow \overline{AD}\perp \overline{BC}$

$\Rightarrow \overline{AD}$ 為 $\overline{BC}$ 的中垂線

同理 $\overline{AE}=\overline{EC}$ ， $\overline{BE}\perp \overline{AC}$ ，

$\overline{AF}=\overline{FB}$ ， $\overline{CF}\perp \overline{AB}$ ，

由 $\overline{BD}=\overline{DC}$ ， $\overline{AE}=\overline{EC}$ ， $\overline{AF}=\overline{FB}$

$\Rightarrow O$ 為 $\triangle ABC$ 的重心

又 $\because \overline{AD}$ ， $\overline{BE}$ ， $\overline{CF}$ 分別為 $\overline{BC}$ ， $\overline{AC}$ ， $\overline{AB}$ 的中垂線

$\Rightarrow O$ 為 $\triangle ABC$ 的外心

$\Rightarrow O$ 點為 $\triangle ABC$ 的外心、內心、重心

故得證