以外心性質證明30-60-90三角形的邊長比
【已知】如圖一,在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A=30^{\circ}$ , $\angle B=60^{\circ}$ , $\angle C=90^{\circ}$
【求證】 $\overline{BC}:\overline{AC}:\overline{AB}=1:\sqrt3:2$
$$圖一$$
【證明】
設 $\overline{BC}=1$
(1) 作 $\overline{AB}$ 的中點 $O$ ,連接 $\overline{OC}$ ,如圖二所示,
$\Rightarrow \; O$ 為外心 $\Rightarrow \; \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$
(2) 在 $\triangle OBC$ 中
$\because \overline{OB}=\overline{OC}$ , 又 $\because \angle B=60^{\circ}$
$\therefore \triangle OBC$ 為正三角形 $\Rightarrow \; \overline{OB}=\overline{BC}=1$
$\Rightarrow \; \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{BC}=1$ $\Rightarrow \; \overline{AB}=2$
(3) 在 $\triangle ABC$ 中
$\because \angle C=90^{\circ}$
$\Rightarrow \; \overline{AC}^2=\overline{AB}^2-\overline{BC}^2$
$\Rightarrow \; \overline{AC}=\pm \sqrt3$ (負不合)
$\Rightarrow \; \overline{BC}:\overline{AC}:\overline{AB}=1:\sqrt3:2$
故得證
$$圖二$$
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