直角三角形內切圓半徑與三邊長關係

【證明】

$\because I$ 是 $\triangle ABC$ 的內心

$\therefore \overline{AD}=\overline{AF}$ ， $\overline{BD}=\overline{BE}$ ， $\overline{CE}=\overline{CF}$

$\because \overline{DI}=\overline{EI}=r$ ，且 $\angle B=\angle IDB=\angle IEB=90^{\circ}$

$\therefore$ 四邊形 $DIEB$ 為正方形

$\therefore \overline{BD}=\overline{BE}=r$

$\quad a+b-c$

$=\overline{AB}+\overline{BC}-\overline{AC}$

$\require{cancel}=(\cancel{\overline{AD}}+r)+(r+\cancel{\overline{CE}})-(\cancel{\overline{AF}}+\cancel{\overline{CF}})$

$=2r$

$\Rightarrow \; r=\dfrac12(a+b-c)$

故得證