三角形的重心

例 如圖一，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，則 $\overline{AD}$ 為 $\overline{BC}$ 上的中線。

例 如圖二，若 $\overline{AD}$ 、 $\overline{BE}$ 、 $\overline{CF}$ 均為 $\triangle ABC$ 的中線，則交點 $G$ 即為 $\triangle ABC$ 的重心。

【已知】如圖三， $G$ 點為 $\triangle ABC$ 的重心。

【求證】 $\overline{AG}=2\overline{GD}$ ， $\overline{BG}=2\overline{GE}$ ， $\overline{CG}=2\overline{GF}$

【證明】

連接 $\overline{EF}$ ，如圖四所示，

$\because E$ 、 $F$ 分別為 $\overline{AC}$ 、 $\overline{AB}$ 的中點，

$\therefore \overline{EF}\; /\!/ \;\overline{BC}$ ， $\overline{EF}=\dfrac12\overline{BC}\;$ $\Rightarrow \; \dfrac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=\dfrac12$

在 $\triangle GEF$ 與 $\triangle GBC$ 中

$\because \overline{EF}\; /\!/ \;\overline{BC}$

$\therefore \angle FEG=\angle GBC$ ， $\angle EFG=\angle GCB$ （內錯角相等）

$\therefore \triangle GEF \sim \triangle GBC$ （ $AA$ 相似性質）

$\therefore \dfrac{\overline{GE}}{\overline{GB}}=\dfrac{\overline{GF}}{\overline{GC}}=\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=\dfrac12$

$\Rightarrow \; \overline{BG}=2\overline{GE}$ ， $\overline{CG}=2\overline{GF}$

同理， $\overline{AG}=2\overline{GD}$

故得證