利用平方差公式有理化分母

設 $a\gt 0$ 、 $b\gt 0$ ,若要化簡分母為 $\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$ 、 $\sqrt{a}\pm b$ 或 $a\pm \sqrt{b}$ 的根式時,可利用平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 進行分母有理化。

化簡下列各式

  1. $\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$
  2. $\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}$

  1. $\begin{array} {rl} & \dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2} \\ = & \dfrac{1\times (\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)} \\ = & \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2} \\ = & \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2} \\ = & \sqrt3-\sqrt2 \end{array}$
  2. $\begin{array} {rl} & \dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3} \\ = & \dfrac{2\times (\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)} \\ = & \dfrac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2} \\ = & \dfrac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3} \\ = & \dfrac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{2} \\ = & \sqrt5+\sqrt3 \end{array}$

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