已分組資料求百分位數的算法

已分組資料求百分位數：

利用累積相對次數分配折線圖，找出第 $k$ 百分位數所代表的值。

例 表一為甲班 $40$ 位同學數學成績之次數分配表，試說明：

(1) 第 $70$ 百分位數為幾分。

(2) 成績 $60$ 分的百分位數為何？

表一　甲班 $40$ 位同學數學成績之次數分配表

成績（分） 次數（人）
$30 ～ 40$ $2$
$40 ～ 50$ $3$
$50 ～ 60$ $5$
$60 ～ 70$ $8$
$70 ～ 80$ $10$
$80 ～ 90$ $9$
$90 ～ 100$ $3$
$合計$ $40$

解

先根據表一製作其累積相對次數分配表，如表二所示，

表二　甲班 $40$ 位同學數學成績之次數分配表

成績（分） 次數（人） 累積相對次數（ $\%$ ）
$30 ～ 40$ $2$ $5$
$40 ～ 50$ $3$ $12.5$
$50 ～ 60$ $5$ $25$
$60 ～ 70$ $8$ $45$
$70 ～ 80$ $10$ $70$
$80 ～ 90$ $9$ $92.5$
$90 ～ 100$ $3$ $100$
$合計$ $40$ $100$

 

根據表二製作累積相對次數分配折線圖，如圖一所示：

百分位數的介紹

$$圖一　累積相對次數分配折線圖$$

 

由上圖的縱軸觀察資料第 $1\%$ 、 $2\%$ 、 $3\%$ 、 $\cdots$ 、 $98\%$ 、 $99\%$ 的數值，則：

(1) 縱軸 $70\%$ 所對應的分數數值為 $80$ 分，所以我們可以說「如果成績在 $80$ 分以上（包含 $80$ 分），則分數至少高過 $70\%$ 的人；如果成績在 $80$ 分以下（包含 $80$ 分），則分數至少低於 $30\%$ 的人。」因此第 $70$ 百分位數為 $80$ 分。

(2) 橫軸 $60$ 分所對應累積相對次數為 $25\%$ ，表示這 $40$ 位同學中，至少有 $40\times 25\% =10$ 個人的成績小於或等於 $60$ 分；至少有 $40\times 75\% =30$ 個人的成績大於或等於 $60$ 分，因此稱 $60$ 分是這 $40$ 個成績的「第 $25$ 百分位數」。

觀念影片