已分組資料求百分位數的算法

已分組資料求百分位數:

利用累積相對次數分配折線圖,找出第 $k$ 百分位數所代表的值。

表一為甲班 $40$ 位同學數學成績之次數分配表,試說明:

(1) 第 $70$ 百分位數為幾分。

(2) 成績 $60$ 分的百分位數為何?

表一 甲班 $40$ 位同學數學成績之次數分配表

成績(分) 次數(人)
$30 ~ 40$ $2$
$40 ~ 50$ $3$
$50 ~ 60$ $5$
$60 ~ 70$ $8$
$70 ~ 80$ $10$
$80 ~ 90$ $9$
$90 ~ 100$ $3$
$合計$ $40$

先根據表一製作其累積相對次數分配表,如表二所示,

表二 甲班 $40$ 位同學數學成績之次數分配表

成績(分) 次數(人) 累積相對次數( $\%$ )
$30 ~ 40$ $2$ $5$
$40 ~ 50$ $3$ $12.5$
$50 ~ 60$ $5$ $25$
$60 ~ 70$ $8$ $45$
$70 ~ 80$ $10$ $70$
$80 ~ 90$ $9$ $92.5$
$90 ~ 100$ $3$ $100$
$合計$ $40$ $100$

 

根據表二製作累積相對次數分配折線圖,如圖一所示:

百分位數的介紹

$$圖一 累積相對次數分配折線圖$$

 

由上圖的縱軸觀察資料第 $1\%$ 、 $2\%$ 、 $3\%$ 、 $\cdots$ 、 $98\%$ 、 $99\%$ 的數值,則:

(1) 縱軸 $70\%$ 所對應的分數數值為 $80$ 分,所以我們可以說「如果成績在 $80$ 分以上(包含 $80$ 分),則分數至少高過 $70\%$ 的人;如果成績在 $80$ 分以下(包含 $80$ 分),則分數至少低於 $30\%$ 的人。」因此第 $70$ 百分位數為 $80$ 分。

(2) 橫軸 $60$ 分所對應累積相對次數為 $25\%$ ,表示這 $40$ 位同學中,至少有 $40\times 25\% =10$ 個人的成績小於或等於 $60$ 分;至少有 $40\times 75\% =30$ 個人的成績大於或等於 $60$ 分,因此稱 $60$ 分是這 $40$ 個成績的「第 $25$ 百分位數」。

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