平方根─比較大小

若 $x\gt y\gt 0$ ，則 $\begin{cases} x^2\gt y^2\gt 0 \\ \sqrt x \gt \sqrt y \gt 0 \end{cases}$

例 試比較下列二數的大小。

(1) $11$ 、 $\sqrt{111}$

(2) $-\sqrt{50}$ 、 $-7$

解

(1) $11^2=121$ ， $(\sqrt{111})^2=111$ ，

$\quad \because 121 \gt 111\Rightarrow 11^2\gt (\sqrt{111})^2$ $\therefore 11\gt \sqrt{111}$

(2) $(-\sqrt{50})^2=50$ 、 $(-7)^2=49$

$\quad \because 50 \gt 49\Rightarrow (-\sqrt{50})^2\gt (-7)^2$ $\therefore -\sqrt{50}\lt -7$