圓冪定理─切割線性質

例 如圖一，試說明切割線性質 ${\overline{PA}}^2=\overline{PB}\times \overline{PC}$ 。

說明

如圖二，連接 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 。

在 $\triangle PAC$ 與 $\triangle PBA$ 中

$\because \angle P=\angle P$

又 $\because \angle PAC=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{AC}$ （弦切角性質）

$\angle PBA=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{AC}$ （圓周角性質）

$\Rightarrow \; \angle PAC=\angle PBA$

$\therefore \triangle PAC \sim \triangle PBA$ （ $AA$ 相似）

$\Rightarrow \; \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PC}}=\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PA}}$

$\Rightarrow \; {\overline{PA}}^2=\overline{PB}\times \overline{PC}$