弦切角之意義與性質
意義:過圓上同一點的弦與切線所夾的角,稱為弦切角。
例 如圖一, $\overline{PC}$ 為圓 $O$ 的一弦,直線 $AB$ 為圓 $O$ 的切線, $P$ 為切點,則 $\angle CPB$ 、 $\angle CPA$ 均為弦切角,其中 $\stackrel{\Large \frown}{CP}$ 稱為 $\angle CPB$ 的夾弧、 $\stackrel{\huge \frown}{CDP}$ 為 $\angle CPA$ 的夾弧。
$$圖一$$
性質:弦切角的度數等於其所夾弧度數的一半。
例 如圖二, $\angle CPB$ 、 $\angle CPA$ 為弦切角, $\angle CDP$ 為圓周角,則:
$\angle CPB=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{CP}$
$\angle CPA=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{CDP}$
$\angle CPB=\angle CDP=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{CP}$
$$圖二$$
說明
如圖三,連接 $\overline{PO}$ 並延長交圓 $O$ 於 $Q$ 點。
$\because$ 直徑 $\overline{PQ}$ 與切線 $AB$ 相交於 $P$ 點,
$\therefore \angle QPB=90^{\circ}=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QCP}$
$\quad \angle QPA=90^{\circ}=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QDP}$
又 $\because \angle QPC=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{QC}$
$\Rightarrow \; \angle CPB=\angle QPB-\angle QPC=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QCP}-\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{QC}=\dfrac12(\stackrel{\huge \frown}{QCP}-\stackrel{\Large \frown}{QC})=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{CP}$
$\Rightarrow \; \angle CPA=\angle QPA+\angle QPC=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{QDP}+\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{QC}=\dfrac12(\stackrel{\huge \frown}{QDP}+\stackrel{\Large \frown}{QC})=\dfrac12\stackrel{\huge \frown}{CDP}$
$$圖三$$
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