等弦、等弧與等圓心角之討論

在半徑相異的兩圓,相同的圓心角所對弧的度數相等,但所對弧長不相等。

在半徑相同的兩圓或是同一圓中,相同的圓心角所對弧的度數相等,其所對弧長也相等,稱為等弧,且所對弦長也會相等,稱為等弦;反之,等弧、等弦所對的圓心角與弧的度數也會相等。

如圖一,若 $\overline{AB}=\overline{CD}$ ,試說明:

(1) $\angle AOB=\angle COD$

(2) $\stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$

說明

(1) 在 $\triangle AOB$ 與 $\triangle COD$ 中

$\because \overline{AB}=\overline{CD}\;$ , $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$

$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$ ( $SSS$ 全等性質)

$\Rightarrow \; \angle AOB=\angle COD$

(2) 設 $\angle AOB=\angle COD=x^{\circ}\;$ , $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}=r$

$\stackrel{\Large \frown}{AB}=2\pi \times \overline{OA}\times \dfrac{\angle AOB}{360}=2\pi r\times \dfrac{x}{360}$

$\stackrel{\Large \frown}{CD}=2\pi \times \overline{OC}\times \dfrac{\angle COD}{360}=2\pi r\times \dfrac{x}{360}$

$\Rightarrow \; \stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$

等弦、等弧與等圓心角之討論─圖一

$$圖一$$

 

如圖二,若 $\stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$ ,試說明:

(1) $\angle AOB=\angle COD$

(2) $\overline{AB}=\overline{CD}$

說明

(1) $\because \stackrel{\Large \frown}{AB}=2\pi \times \overline{OA}\times \dfrac{\angle AOB}{360}$

$\;\, \stackrel{\Large \frown}{CD}=2\pi \times \overline{OC}\times \dfrac{\angle COD}{360}$

又 $\because \overline{OA}=\overline{OC}\;$ , 且 $\stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$

$\therefore \angle AOB=\angle COD$

(2) 在 $\triangle AOB$ 與 $\triangle COD$ 中

$\because \angle AOB=\angle COD\;$ , $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$

$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$ ( $SAS$ 全等性質)

$\Rightarrow \; \overline{AB}=\overline{CD}$

等弦、等弧與等圓心角之討論─圖二

$$圖二$$

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