等弦、等弧與等圓心角之討論
在半徑相異的兩圓，相同的圓心角所對弧的度數相等，但所對弧長不相等。
在半徑相同的兩圓或是同一圓中，相同的圓心角所對弧的度數相等，其所對弧長也相等，稱為等弧，且所對弦長也會相等，稱為等弦；反之，等弧、等弦所對的圓心角與弧的度數也會相等。
例 如圖一，若 $\overline{AB}=\overline{CD}$ ，試說明：
(1) $\angle AOB=\angle COD$
(2) $\stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$
說明
(1) 在 $\triangle AOB$ 與 $\triangle COD$ 中
$\because \overline{AB}=\overline{CD}\;$ ， $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$ （ $SSS$ 全等性質）
$\Rightarrow \; \angle AOB=\angle COD$
(2) 設 $\angle AOB=\angle COD=x^{\circ}\;$ ， $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}=r$
$\stackrel{\Large \frown}{AB}=2\pi \times \overline{OA}\times \dfrac{\angle AOB}{360}=2\pi r\times \dfrac{x}{360}$
$\stackrel{\Large \frown}{CD}=2\pi \times \overline{OC}\times \dfrac{\angle COD}{360}=2\pi r\times \dfrac{x}{360}$
$\Rightarrow \; \stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$
$$圖一$$
例 如圖二，若 $\stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$ ，試說明：
(1) $\angle AOB=\angle COD$
(2) $\overline{AB}=\overline{CD}$
說明
(1) $\because \stackrel{\Large \frown}{AB}=2\pi \times \overline{OA}\times \dfrac{\angle AOB}{360}$
$\;\, \stackrel{\Large \frown}{CD}=2\pi \times \overline{OC}\times \dfrac{\angle COD}{360}$
又 $\because \overline{OA}=\overline{OC}\;$ ， 且 $\stackrel{\Large \frown}{AB}=\stackrel{\Large \frown}{CD}$
$\therefore \angle AOB=\angle COD$
(2) 在 $\triangle AOB$ 與 $\triangle COD$ 中
$\because \angle AOB=\angle COD\;$ ， $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$ （ $SAS$ 全等性質）
$\Rightarrow \; \overline{AB}=\overline{CD}$
$$圖二$$
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(3)等弦、等弧與等圓心角之討論16:41 |
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