圓心角所對弦長、弧長與扇形面積

例 如圖一，圓 $O$ 半徑為 $6$ ，圓心角 $\angle AOB=120^{\circ}$ ，求弦長 $\overline{AB}$ 、弧長 $\stackrel{\Large \frown}{AB}$ 與扇形 $AOB$ 的面積與周長。

解 過 $O$ 點作 $\overline{OC}\perp \overline{AB}$ ，如圖二所示。

在 $\triangle AOC$ 與 $\triangle BOC$ 中

$\because \angle ACO=\angle BCO=90^{\circ}\;$ ， $\overline{OA}=\overline{OB}\;$ ， $\overline{OC}=\overline{OC}$

$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOC$ （ $RHS$ 全等性質）

$\Rightarrow \; \angle AOC=\angle BOC=60^{\circ}$

$\Rightarrow \; \triangle AOC$ 為 $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ 的直角三角形

$\Rightarrow \; \overline{AC}=3\sqrt3$

$\Rightarrow \; \overline{AB}=2\overline{AC}=2\times 3\sqrt3=6\sqrt3$

$\stackrel{\Large \frown}{AB}=2\pi r\times \dfrac{x}{360}=2\pi \times 6\times \dfrac{120}{360}=4\pi$

扇形 $AOB$ 的面積 $=\pi r^2\times \dfrac{x}{360}=\pi \times 6^2\times \dfrac{120}{360}=12\pi$

扇形 $AOB$ 的周長 $=2r+\stackrel{\Large \frown}{AB}=2\times 6+4\pi=12+4\pi$