圓冪定理─圓內冪性質

如圖一,試說明圓內冪性質 $\overline{PA}\times \overline{PB}=\overline{PC}\times \overline{PD}$ 。

圓冪定理─圓內冪性質

$$圖一$$

說明

如圖二,連接 $\overline{AD}$ 、 $\overline{BC}$ 。

在 $\triangle APD$ 與 $\triangle CPB$ 中

$\because \angle APD=\angle CPB$ (對頂角相等)

又 $\because \angle A=\angle C=\dfrac12\stackrel{\Large \frown}{BD}$ (圓周角性質)

$\therefore \triangle APD \sim \triangle CPB$ ( $AA$ 相似)

$\Rightarrow \; \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PC}}=\dfrac{\overline{PD}}{\overline{PB}}$

$\Rightarrow \; \overline{PA}\times \overline{PB}=\overline{PC}\times \overline{PD}$

圓冪定理─圓內冪性質說明

$$圖二$$

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