利用乘法公式解一元二次方程式

(1) 和的平方公式： $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

例 解一元二次方程式 $9x^2+24x+16=0$

解

$\begin{array} {rl} & 9x^2+24x+16=0 \\ \Rightarrow & (3x)^2+2\cdot (3x)\cdot 4+4^2=0 \\ \Rightarrow & (3x+4)^2=0 \\ \Rightarrow & 3x+4=0 \\ \Rightarrow & x=-\dfrac43\;(重根) \end{array}$
所以 $9x^2+24x+16=0$ 的解為 $x=-\dfrac43$ （重根）。

(2) 差的平方公式： $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

例 解一元二次方程式 $-36+60x-25x^2=0$

解

$\begin{array} {rl} & -36+60x-25x^2=0 \\ \Rightarrow & 36-60x+25x^2=0 \\ \Rightarrow & 25x^2-60x+36=0 \\ \Rightarrow & (5x)^2-2\cdot (5x)\cdot 6+6^2=0 \\ \Rightarrow & (5x-6)^2=0 \\ \Rightarrow & 5x-6=0 \\ \Rightarrow & x=\dfrac65\;(重根) \end{array}$
所以 $-36+60x-25x^2=0$ 的解為 $x=\dfrac65$ （重根）。

(3) 平方差公式： $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

例 解一元二次方程式 $1-(x-2)^2=0$

解

$\begin{array} {rl} & 1-(x-2)^2=0 \\ \Rightarrow & 1^2-(x-2)^2=0 \\ \Rightarrow & [1+(x-2)][1-(x-2)]=0 \\ \Rightarrow & (1+x-2)(1-x+2)=0 \\ \Rightarrow & (x-1)(-x+3)=0 \\ \Rightarrow & x-1=0 \;或\; -x+3=0 \\ \Rightarrow & x=1 \;或\; x=3 \end{array}$
所以 $1-(x-2)^2=0$ 的解為 $x=1$ 與 $x=3$